Theorem iseqf1olemjpcl 10690

Description: Lemma for seq3f1o 10699. A closure lemma involving J and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemjpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3128	. . . 4 |- [_ J / f ]_ P = [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		f1of 5544	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
7		elfzel1 10181	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		elfzel2 10180	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10613	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
12		fex 5836	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> J e. _V )
14		nfcvd 2351	. . . . . 6 |- ( J e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
15		fveq1 5598	. . . . . . . . 9 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
16	15	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
17	16	ifeq1d 3597	. . . . . . 7 |- ( f = J -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
18	17	mpteq2dv 4151	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	14, 18	csbiegf 3145	. . . . 5 |- ( J e. _V -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	13, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21	2, 20	eqtrid 2252	. . 3 |- ( ph -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
22		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( a = ( J ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
23	22	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( a = ( J ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( J ` x ) ) e. S ) )
24		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
25	24	ralrimiva 2581	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
26		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
27	26	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
28	27	cbvralv 2742	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	25, 28	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
34	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
35		elfz5 10174	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	32, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
38	31, 37	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
39		elfzuz 10178	. . . . . 6 |- ( ( J ` x ) e. ( M ... N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	23, 30, 40	rspcdva 2889	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( J ` x ) ) e. S )
42		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
43	42	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
44	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
45	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
46		uzid 9697	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	43, 44, 47	rspcdva 2889	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
49		eluzelz 9692	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
50		zdcle 9484	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
51	49, 10, 50	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
52	41, 48, 51	ifcldadc 3609	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
53	21, 52	fvmpt2d 5689	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
54	53, 52	eqeltrd 2284	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   [_csb 3101   ifcif 3579   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   `'ccnv 4692   -->wf 5286   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   1c1 7961   <_ cle 8143   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694  seq3f1olemqsum  10695