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Theorem iseqf1olemjpcl 10219
Description: Lemma for seq3f1o 10228. A closure lemma involving  J and  P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q  |-  Q  =  ( u  e.  ( M ... N ) 
|->  if ( u  e.  ( K ... ( `' J `  K ) ) ,  if ( u  =  K ,  K ,  ( J `  ( u  -  1 ) ) ) ,  ( J `  u
) ) )
iseqf1olemjpcl.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemjpcl.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemjpcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
Distinct variable groups:    x, G, f   
x, J, f    u, J    u, K    x, K    x, M, f    u, M   
f, N, x    u, N    x, Q, f    x, S    ph, u    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    P( x, u, f)    Q( u)    S( u, f)    G( u)    K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemjpcl.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
21csbeq2i 2997 . . . 4  |-  [_ J  /  f ]_ P  =  [_ J  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
3 iseqf1olemqf.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4 f1of 5333 . . . . . . 7  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  J :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6 iseqf1olemqf.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
7 elfzel1 9756 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 elfzel2 9755 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
106, 9syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
118, 10fzfigd 10155 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
12 fex 5613 . . . . . 6  |-  ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  ->  J  e.  _V )
135, 11, 12syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
14 nfcvd 2257 . . . . . 6  |-  ( J  e.  _V  ->  F/_ f
( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( J `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) ) )
15 fveq1 5386 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  J  ->  (
f `  x )  =  ( J `  x ) )
1615fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  J  ->  ( G `  ( f `  x ) )  =  ( G `  ( J `  x )
) )
1716ifeq1d 3457 . . . . . . 7  |-  ( f  =  J  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( J `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
1817mpteq2dv 3987 . . . . . 6  |-  ( f  =  J  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( J `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
1914, 18csbiegf 3011 . . . . 5  |-  ( J  e.  _V  ->  [_ J  /  f ]_ (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( J `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
2013, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  [_ J  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( J `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
212, 20syl5eq 2160 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ J  /  f ]_ P  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( J `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
22 fveq2 5387 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( J `  x )  ->  ( G `  a )  =  ( G `  ( J `  x ) ) )
2322eleq1d 2184 . . . . 5  |-  ( a  =  ( J `  x )  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  ( J `  x
) )  e.  S
) )
24 iseqf1olemjpcl.g . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
2524ralrimiva 2480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
26 fveq2 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( G `  x )  =  ( G `  a ) )
2726eleq1d 2184 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  a )  e.  S
) )
2827cbvralv 2629 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 x )  e.  S  <->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
2925, 28sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  a )  e.  S )
3029ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  a
)  e.  S )
315ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  J :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
32 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  <_  N )
33 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3410ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
35 elfz5 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  <_  N ) )
3633, 34, 35syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  x  <_  N ) )
3732, 36mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
3831, 37ffvelrnd 5522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
39 elfzuz 9753 . . . . . 6  |-  ( ( J `  x )  e.  ( M ... N )  ->  ( J `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4038, 39syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( J `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
4123, 30, 40rspcdva 2766 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  <_  N )  ->  ( G `  ( J `  x
) )  e.  S
)
42 fveq2 5387 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( G `  a )  =  ( G `  M ) )
4342eleq1d 2184 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  (
( G `  a
)  e.  S  <->  ( G `  M )  e.  S
) )
4429ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  a
)  e.  S )
458ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
46 uzid 9292 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4745, 46syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4843, 44, 47rspcdva 2766 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  x  <_  N )  ->  ( G `  M )  e.  S )
49 eluzelz 9287 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
50 zdcle 9081 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  N )
5149, 10, 50syl2anr 286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  x  <_  N )
5241, 48, 51ifcldadc 3469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
x  <_  N , 
( G `  ( J `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  e.  S )
5321, 52fvmpt2d 5473 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( J `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
5453, 52eqeltrd 2192 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( [_ J  /  f ]_ P `  x )  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   _Vcvv 2658   [_csb 2973   ifcif 3442   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   `'ccnv 4506   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   1c1 7585    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10222  seq3f1olemqsumk  10223  seq3f1olemqsum  10224
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