Theorem iseqf1olemjpcl 10600

Description: Lemma for seq3f1o 10609. A closure lemma involving J and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemjpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3111	. . . 4 |- [_ J / f ]_ P = [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		f1of 5504	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
7		elfzel1 10099	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		elfzel2 10098	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10523	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
12		fex 5791	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> J e. _V )
14		nfcvd 2340	. . . . . 6 |- ( J e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
15		fveq1 5557	. . . . . . . . 9 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
16	15	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
17	16	ifeq1d 3578	. . . . . . 7 |- ( f = J -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
18	17	mpteq2dv 4124	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	14, 18	csbiegf 3128	. . . . 5 |- ( J e. _V -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	13, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21	2, 20	eqtrid 2241	. . 3 |- ( ph -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
22		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( a = ( J ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
23	22	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( a = ( J ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( J ` x ) ) e. S ) )
24		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
25	24	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
26		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
27	26	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
28	27	cbvralv 2729	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	25, 28	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
34	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
35		elfz5 10092	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	32, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
38	31, 37	ffvelcdmd 5698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
39		elfzuz 10096	. . . . . 6 |- ( ( J ` x ) e. ( M ... N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	23, 30, 40	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( J ` x ) ) e. S )
42		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
43	42	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
44	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
45	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
46		uzid 9615	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	43, 44, 47	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
49		eluzelz 9610	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
50		zdcle 9402	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
51	49, 10, 50	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
52	41, 48, 51	ifcldadc 3590	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
53	21, 52	fvmpt2d 5648	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
54	53, 52	eqeltrd 2273	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [_csb 3084   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   `'ccnv 4662   -->wf 5254   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   1c1 7880   <_ cle 8062   - cmin 8197   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605