Theorem iseqf1olemjpcl 10387

Description: Lemma for seq3f1o 10396. A closure lemma involving J and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemjpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3058	. . . 4 |- [_ J / f ]_ P = [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		f1of 5413	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
7		elfzel1 9920	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		elfzel2 9919	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
12		fex 5693	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
13	5, 11, 12	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> J e. _V )
14		nfcvd 2300	. . . . . 6 |- ( J e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
15		fveq1 5466	. . . . . . . . 9 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
16	15	fveq2d 5471	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
17	16	ifeq1d 3522	. . . . . . 7 |- ( f = J -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
18	17	mpteq2dv 4055	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	14, 18	csbiegf 3074	. . . . 5 |- ( J e. _V -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	13, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21	2, 20	syl5eq 2202	. . 3 |- ( ph -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
22		fveq2 5467	. . . . . 6 |- ( a = ( J ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
23	22	eleq1d 2226	. . . . 5 |- ( a = ( J ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( J ` x ) ) e. S ) )
24		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
25	24	ralrimiva 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
26		fveq2 5467	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
27	26	eleq1d 2226	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
28	27	cbvralv 2680	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	25, 28	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30	29	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
31	5	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
33		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
34	10	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
35		elfz5 9913	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	32, 36	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
38	31, 37	ffvelrnd 5602	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
39		elfzuz 9917	. . . . . 6 |- ( ( J ` x ) e. ( M ... N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	23, 30, 40	rspcdva 2821	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( J ` x ) ) e. S )
42		fveq2 5467	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
43	42	eleq1d 2226	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
44	29	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
45	8	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
46		uzid 9447	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	43, 44, 47	rspcdva 2821	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
49		eluzelz 9442	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
50		zdcle 9234	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
51	49, 10, 50	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
52	41, 48, 51	ifcldadc 3534	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
53	21, 52	fvmpt2d 5553	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
54	53, 52	eqeltrd 2234	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   [_csb 3031   ifcif 3505   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   `'ccnv 4584   -->wf 5165   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   Fincfn 6682   1c1 7727   <_ cle 7907   - cmin 8040   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433   ...cfz 9905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10390  seq3f1olemqsumk  10391  seq3f1olemqsum  10392