Theorem iseqf1olemjpcl 10655

Description: Lemma for seq3f1o 10664. A closure lemma involving J and P. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.j	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemqf.q	|- Q = ( u e. ( M ... N ) |-> if ( u e. ( K ... ( `' J ` K ) ) , if ( u = K , K , ( J ` ( u - 1 ) ) ) , ( J ` u ) ) )
iseqf1olemjpcl.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemjpcl.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemjpcl	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Distinct variable groups:   x, G, f   x, J, f   u, J   u, K   x, K   x, M, f   u, M   f, N, x   u, N   x, Q, f   x, S   ph, u   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   P( x, u, f)   Q( u)   S( u, f)   G( u)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3120	. . . 4 |- [_ J / f ]_ P = [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemqf.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		f1of 5524	. . . . . . 7 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
7		elfzel1 10148	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		elfzel2 10147	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10578	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
12		fex 5815	. . . . . 6 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> J e. _V )
14		nfcvd 2349	. . . . . 6 |- ( J e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
15		fveq1 5577	. . . . . . . . 9 |- ( f = J -> ( f ` x ) = ( J ` x ) )
16	15	fveq2d 5582	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
17	16	ifeq1d 3588	. . . . . . 7 |- ( f = J -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
18	17	mpteq2dv 4136	. . . . . 6 |- ( f = J -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	14, 18	csbiegf 3137	. . . . 5 |- ( J e. _V -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	13, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ J / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21	2, 20	eqtrid 2250	. . 3 |- ( ph -> [_ J / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
22		fveq2 5578	. . . . . 6 |- ( a = ( J ` x ) -> ( G ` a ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
23	22	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( a = ( J ` x ) -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` ( J ` x ) ) e. S ) )
24		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
25	24	ralrimiva 2579	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
26		fveq2 5578	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( G ` x ) = ( G ` a ) )
27	26	eleq1d 2274	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` a ) e. S ) )
28	27	cbvralv 2738	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
29	25, 28	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
32		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x <_ N )
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
34	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> N e. ZZ )
35		elfz5 10141	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x <_ N ) )
37	32, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> x e. ( M ... N ) )
38	31, 37	ffvelcdmd 5718	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
39		elfzuz 10145	. . . . . 6 |- ( ( J ` x ) e. ( M ... N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( J ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
41	23, 30, 40	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x <_ N ) -> ( G ` ( J ` x ) ) e. S )
42		fveq2 5578	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( G ` a ) = ( G ` M ) )
43	42	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( a = M -> ( ( G ` a ) e. S <-> ( G ` M ) e. S ) )
44	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` a ) e. S )
45	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ZZ )
46		uzid 9664	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
48	43, 44, 47	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. x <_ N ) -> ( G ` M ) e. S )
49		eluzelz 9659	. . . . 5 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
50		zdcle 9451	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID x <_ N )
51	49, 10, 50	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID x <_ N )
52	41, 48, 51	ifcldadc 3600	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
53	21, 52	fvmpt2d 5668	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) = if ( x <_ N , ( G ` ( J ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
54	53, 52	eqeltrd 2282	1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( [_ J / f ]_ P ` x ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   [_csb 3093   ifcif 3571   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   `'ccnv 4675   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   1c1 7928   <_ cle 8110   - cmin 8245   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1olemqsum  10660