ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemfvp Unicode version

Theorem iseqf1olemfvp 9926
Description: Lemma for seq3f1o 9933. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemfvp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.t  |-  ( ph  ->  T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemfvp.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemfvp  |-  ( ph  ->  ( [_ T  / 
f ]_ P `  A
)  =  ( G `
 ( T `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    f, G, x    x, K    f, M, x    f, N, x   
x, S    T, f, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    P( x, f)    S( f)    K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemfvp.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
21csbeq2i 2957 . . . 4  |-  [_ T  /  f ]_ P  =  [_ T  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
3 iseqf1olemfvp.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4 f1of 5253 . . . . . . 7  |-  ( T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  T :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6 iseqf1olemfvp.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
7 elfzel1 9439 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 elfzel2 9438 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
106, 9syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
118, 10fzfigd 9838 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
12 fex 5524 . . . . . 6  |-  ( ( T : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  ->  T  e.  _V )
135, 11, 12syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
14 nfcvd 2229 . . . . . 6  |-  ( T  e.  _V  ->  F/_ f
( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) ) )
15 fveq1 5304 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  T  ->  (
f `  x )  =  ( T `  x ) )
1615fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  T  ->  ( G `  ( f `  x ) )  =  ( G `  ( T `  x )
) )
1716ifeq1d 3408 . . . . . . 7  |-  ( f  =  T  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
1817mpteq2dv 3929 . . . . . 6  |-  ( f  =  T  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
1914, 18csbiegf 2971 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  [_ T  /  f ]_ (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
2013, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  [_ T  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( T `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
212, 20syl5eq 2132 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ T  /  f ]_ P  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( T `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
22 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
2322breq1d 3855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x  <_  N  <->  A  <_  N ) )
2422fveq2d 5309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( T `  x )  =  ( T `  A ) )
2524fveq2d 5309 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( G `  ( T `  x ) )  =  ( G `  ( T `  A )
) )
2623, 25ifbieq1d 3413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( T `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( A  <_  N ,  ( G `  ( T `
 A ) ) ,  ( G `  M ) ) )
27 iseqf1olemfvp.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( M ... N ) )
28 elfzuz 9436 . . . 4  |-  ( A  e.  ( M ... N )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2927, 28syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 elfzle2 9442 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( M ... N )  ->  A  <_  N )
3127, 30syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  N )
3231iftrued 3400 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  N ,  ( G `  ( T `  A
) ) ,  ( G `  M ) )  =  ( G `
 ( T `  A ) ) )
33 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( T `  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( T `  A ) ) )
3433eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( x  =  ( T `  A )  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  ( T `  A
) )  e.  S
) )
35 iseqf1olemfvp.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
3635ralrimiva 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
375, 27ffvelrnd 5435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  A
)  e.  ( M ... N ) )
38 elfzuz 9436 . . . . . 6  |-  ( ( T `  A )  e.  ( M ... N )  ->  ( T `  A )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3937, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  A
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4034, 36, 39rspcdva 2727 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( T `  A )
)  e.  S )
4132, 40eqeltrd 2164 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  N ,  ( G `  ( T `  A
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )
4221, 26, 29, 41fvmptd 5385 . 2  |-  ( ph  ->  ( [_ T  / 
f ]_ P `  A
)  =  if ( A  <_  N , 
( G `  ( T `  A )
) ,  ( G `
 M ) ) )
4342, 32eqtrd 2120 1  |-  ( ph  ->  ( [_ T  / 
f ]_ P `  A
)  =  ( G `
 ( T `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   [_csb 2933   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6457    <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  9927  seq3f1olemqsumk  9928
  Copyright terms: Public domain W3C validator