ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemfvp Unicode version

Theorem iseqf1olemfvp 10263
Description: Lemma for seq3f1o 10270. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemfvp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.t  |-  ( ph  ->  T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1olemfvp.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemfvp  |-  ( ph  ->  ( [_ T  / 
f ]_ P `  A
)  =  ( G `
 ( T `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    f, G, x    x, K    f, M, x    f, N, x   
x, S    T, f, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    P( x, f)    S( f)    K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemfvp.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
21csbeq2i 3024 . . . 4  |-  [_ T  /  f ]_ P  =  [_ T  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
3 iseqf1olemfvp.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4 f1of 5360 . . . . . . 7  |-  ( T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  T :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6 iseqf1olemfvp.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
7 elfzel1 9798 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 elfzel2 9797 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
106, 9syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
118, 10fzfigd 10197 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
12 fex 5640 . . . . . 6  |-  ( ( T : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  ->  T  e.  _V )
135, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
14 nfcvd 2280 . . . . . 6  |-  ( T  e.  _V  ->  F/_ f
( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) ) )
15 fveq1 5413 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  T  ->  (
f `  x )  =  ( T `  x ) )
1615fveq2d 5418 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  T  ->  ( G `  ( f `  x ) )  =  ( G `  ( T `  x )
) )
1716ifeq1d 3484 . . . . . . 7  |-  ( f  =  T  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
1817mpteq2dv 4014 . . . . . 6  |-  ( f  =  T  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
1914, 18csbiegf 3038 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  [_ T  /  f ]_ (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( T `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
2013, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  [_ T  /  f ]_ ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( T `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
212, 20syl5eq 2182 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ T  /  f ]_ P  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( T `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) ) )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
2322breq1d 3934 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x  <_  N  <->  A  <_  N ) )
2422fveq2d 5418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( T `  x )  =  ( T `  A ) )
2524fveq2d 5418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( G `  ( T `  x ) )  =  ( G `  ( T `  A )
) )
2623, 25ifbieq1d 3489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  ( T `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( A  <_  N ,  ( G `  ( T `
 A ) ) ,  ( G `  M ) ) )
27 iseqf1olemfvp.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( M ... N ) )
28 elfzuz 9795 . . . 4  |-  ( A  e.  ( M ... N )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2927, 28syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 elfzle2 9801 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( M ... N )  ->  A  <_  N )
3127, 30syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  N )
3231iftrued 3476 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  N ,  ( G `  ( T `  A
) ) ,  ( G `  M ) )  =  ( G `
 ( T `  A ) ) )
33 fveq2 5414 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( T `  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( T `  A ) ) )
3433eleq1d 2206 . . . . 5  |-  ( x  =  ( T `  A )  ->  (
( G `  x
)  e.  S  <->  ( G `  ( T `  A
) )  e.  S
) )
35 iseqf1olemfvp.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
3635ralrimiva 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  x )  e.  S )
375, 27ffvelrnd 5549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  A
)  e.  ( M ... N ) )
38 elfzuz 9795 . . . . . 6  |-  ( ( T `  A )  e.  ( M ... N )  ->  ( T `  A )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3937, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  A
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4034, 36, 39rspcdva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( T `  A )
)  e.  S )
4132, 40eqeltrd 2214 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  N ,  ( G `  ( T `  A
) ) ,  ( G `  M ) )  e.  S )
4221, 26, 29, 41fvmptd 5495 . 2  |-  ( ph  ->  ( [_ T  / 
f ]_ P `  A
)  =  if ( A  <_  N , 
( G `  ( T `  A )
) ,  ( G `
 M ) ) )
4342, 32eqtrd 2170 1  |-  ( ph  ->  ( [_ T  / 
f ]_ P `  A
)  =  ( G `
 ( T `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2681   [_csb 2998   ifcif 3469   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   Fincfn 6627    <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemqsumk  10265
  Copyright terms: Public domain W3C validator