Theorem iseqf1olemfvp 10619

Description: Lemma for seq3f1o 10626. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemfvp.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.t	|- ( ph -> T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemfvp.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemfvp	|- ( ph -> ( [_ T / f ]_ P ` A ) = ( G ` ( T ` A ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   f, G, x   x, K   f, M, x   f, N, x   x, S   T, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   P( x, f)   S( f)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemfvp.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3111	. . . 4 |- [_ T / f ]_ P = [_ T / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemfvp.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		f1of 5507	. . . . . . 7 |- ( T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6		iseqf1olemfvp.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
7		elfzel1 10116	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		elfzel2 10115	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10540	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
12		fex 5794	. . . . . 6 |- ( ( T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> T e. _V )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> T e. _V )
14		nfcvd 2340	. . . . . 6 |- ( T e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
15		fveq1 5560	. . . . . . . . 9 |- ( f = T -> ( f ` x ) = ( T ` x ) )
16	15	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 |- ( f = T -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( T ` x ) ) )
17	16	ifeq1d 3579	. . . . . . 7 |- ( f = T -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
18	17	mpteq2dv 4125	. . . . . 6 |- ( f = T -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	14, 18	csbiegf 3128	. . . . 5 |- ( T e. _V -> [_ T / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	13, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ T / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21	2, 20	eqtrid 2241	. . 3 |- ( ph -> [_ T / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
23	22	breq1d 4044	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x <_ N <-> A <_ N ) )
24	22	fveq2d 5565	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( T ` x ) = ( T ` A ) )
25	24	fveq2d 5565	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( G ` ( T ` x ) ) = ( G ` ( T ` A ) ) )
26	23, 25	ifbieq1d 3584	. . 3 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) )
27		iseqf1olemfvp.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
28		elfzuz 10113	. . . 4 |- ( A e. ( M ... N ) -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
29	27, 28	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
30		elfzle2 10120	. . . . . 6 |- ( A e. ( M ... N ) -> A <_ N )
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ N )
32	31	iftrued 3569	. . . 4 |- ( ph -> if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( T ` A ) ) )
33		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( x = ( T ` A ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( T ` A ) ) )
34	33	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( x = ( T ` A ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( T ` A ) ) e. S ) )
35		iseqf1olemfvp.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
36	35	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
37	5, 27	ffvelcdmd 5701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` A ) e. ( M ... N ) )
38		elfzuz 10113	. . . . . 6 |- ( ( T ` A ) e. ( M ... N ) -> ( T ` A ) e. ( ZZ>= ` M ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( T ` A ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40	34, 36, 39	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( T ` A ) ) e. S )
41	32, 40	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ph -> if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
42	21, 26, 29, 41	fvmptd 5645	. 2 |- ( ph -> ( [_ T / f ]_ P ` A ) = if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) )
43	42, 32	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( [_ T / f ]_ P ` A ) = ( G ` ( T ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   [_csb 3084   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   <_ cle 8079   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621