Theorem iseqf1olemfvp 10432

Description: Lemma for seq3f1o 10439. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemfvp.k	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.t	|- ( ph -> T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.a	|- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
iseqf1olemfvp.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1olemfvp.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemfvp	|- ( ph -> ( [_ T / f ]_ P ` A ) = ( G ` ( T ` A ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   f, G, x   x, K   f, M, x   f, N, x   x, S   T, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   P( x, f)   S( f)   K( f)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemfvp.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
2	1	csbeq2i 3072	. . . 4 |- [_ T / f ]_ P = [_ T / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
3		iseqf1olemfvp.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
4		f1of 5432	. . . . . . 7 |- ( T : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
6		iseqf1olemfvp.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
7		elfzel1 9959	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		elfzel2 9958	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	8, 10	fzfigd 10366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
12		fex 5714	. . . . . 6 |- ( ( T : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> T e. _V )
13	5, 11, 12	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> T e. _V )
14		nfcvd 2309	. . . . . 6 |- ( T e. _V -> F/_ f ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
15		fveq1 5485	. . . . . . . . 9 |- ( f = T -> ( f ` x ) = ( T ` x ) )
16	15	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( f = T -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( T ` x ) ) )
17	16	ifeq1d 3537	. . . . . . 7 |- ( f = T -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
18	17	mpteq2dv 4073	. . . . . 6 |- ( f = T -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
19	14, 18	csbiegf 3088	. . . . 5 |- ( T e. _V -> [_ T / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
20	13, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> [_ T / f ]_ ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
21	2, 20	syl5eq 2211	. . 3 |- ( ph -> [_ T / f ]_ P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
22		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
23	22	breq1d 3992	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x <_ N <-> A <_ N ) )
24	22	fveq2d 5490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( T ` x ) = ( T ` A ) )
25	24	fveq2d 5490	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( G ` ( T ` x ) ) = ( G ` ( T ` A ) ) )
26	23, 25	ifbieq1d 3542	. . 3 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x <_ N , ( G ` ( T ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) )
27		iseqf1olemfvp.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( M ... N ) )
28		elfzuz 9956	. . . 4 |- ( A e. ( M ... N ) -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
29	27, 28	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
30		elfzle2 9963	. . . . . 6 |- ( A e. ( M ... N ) -> A <_ N )
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ N )
32	31	iftrued 3527	. . . 4 |- ( ph -> if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) = ( G ` ( T ` A ) ) )
33		fveq2 5486	. . . . . 6 |- ( x = ( T ` A ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( T ` A ) ) )
34	33	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( x = ( T ` A ) -> ( ( G ` x ) e. S <-> ( G ` ( T ` A ) ) e. S ) )
35		iseqf1olemfvp.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
36	35	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` x ) e. S )
37	5, 27	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T ` A ) e. ( M ... N ) )
38		elfzuz 9956	. . . . . 6 |- ( ( T ` A ) e. ( M ... N ) -> ( T ` A ) e. ( ZZ>= ` M ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( T ` A ) e. ( ZZ>= ` M ) )
40	34, 36, 39	rspcdva 2835	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` ( T ` A ) ) e. S )
41	32, 40	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ph -> if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) e. S )
42	21, 26, 29, 41	fvmptd 5567	. 2 |- ( ph -> ( [_ T / f ]_ P ` A ) = if ( A <_ N , ( G ` ( T ` A ) ) , ( G ` M ) ) )
43	42, 32	eqtrd 2198	1 |- ( ph -> ( [_ T / f ]_ P ` A ) = ( G ` ( T ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   [_csb 3045   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10433  seq3f1olemqsumk  10434