Theorem findcard2d 7148

Description: Deduction version of findcard2 7146. If you also need y e. Fin (which doesn't come for free due to ssfiexmid 7131), use findcard2sd 7149 instead. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2d.ch	|- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
findcard2d.th	|- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
findcard2d.ta	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
findcard2d.et	|- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
findcard2d.z	|- ( ph -> ch )
findcard2d.i	|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
findcard2d.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
findcard2d	|- ( ph -> et )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z   ps, y, z   ch, x   th, x   ta, x   et, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)

Proof of Theorem findcard2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3258	. 2 |- A C_ A
2		findcard2d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> A e. Fin )
4		sseq1 3261	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
6		findcard2d.ch	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch ) ) )
8		sseq1 3261	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9	8	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ y C_ A ) ) )
10		findcard2d.th	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
11	9, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) ) )
12		sseq1 3261	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
13	12	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
14		findcard2d.ta	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
15	13, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
16		sseq1 3261	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ A <-> A C_ A ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
18		findcard2d.et	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) ) )
20		findcard2d.z	. . . . 5 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch )
22		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ph )
23		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
24	23	unssad 3396	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
25	22, 24	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ph /\ y C_ A ) )
26		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
27		vsnid 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
28		elun2 3387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
29	27, 28	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. ( y u. { z } ) )
30	26, 29	sseldd 3239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. A )
31	30	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
32		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
33	31, 32	eldifd 3221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
34		findcard2d.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
35	22, 24, 33, 34	syl12anc 1272	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( th -> ta ) )
36	25, 35	embantd 56	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) )
37	36	ex 115	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) ) )
38	37	com23 78	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
39	7, 11, 15, 19, 21, 38	findcard2s 7147	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) )
40	3, 39	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> et )
41	1, 40	mpan2 425	1 |- ( ph -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3208   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  iunfidisj  7213