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Theorem findcard2d 6753
Description: Deduction version of findcard2 6751. If you also need  y  e.  Fin (which doesn't come for free due to ssfiexmid 6738), use findcard2sd 6754 instead. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2d.ch  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
findcard2d.th  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
findcard2d.ta  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
findcard2d.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
findcard2d.z  |-  ( ph  ->  ch )
findcard2d.i  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
findcard2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
findcard2d  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x    th, x    ta, x    et, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y,
z)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y, z)

Proof of Theorem findcard2d
StepHypRef Expression
1 ssid 3087 . 2  |-  A  C_  A
2 findcard2d.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
32adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
4 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
6 findcard2d.ch . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
75, 6imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps ) 
<->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ch ) ) )
8 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
98anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  y  C_  A )
) )
10 findcard2d.th . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
119, 10imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th ) ) )
12 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1312anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  x  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
14 findcard2d.ta . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
1513, 14imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  (
y  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ta )
) )
16 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1716anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
18 findcard2d.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
1917, 18imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) ) )
20 findcard2d.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ch )
22 simprl 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  ph )
23 simprr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
2423unssad 3223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  C_  A )
2522, 24jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ph  /\  y  C_  A ) )
26 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
27 vsnid 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
{ z }
28 elun2 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3026, 29sseldd 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  A )
3130ad2antll 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
32 simplr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  y
)
3331, 32eldifd 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
34 findcard2d.i . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3522, 24, 33, 34syl12anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3625, 35embantd 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) )
3736ex 114 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) ) )
3837com23 78 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ( ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ta ) ) )
397, 11, 15, 19, 21, 38findcard2s 6752 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) )
403, 39mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  et )
411, 40mpan2 421 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465    \ cdif 3038    u. cun 3039    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {csn 3497   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
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