Theorem findcard2d 6857

Description: Deduction version of findcard2 6855. If you also need y e. Fin (which doesn't come for free due to ssfiexmid 6842), use findcard2sd 6858 instead. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2d.ch	|- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
findcard2d.th	|- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
findcard2d.ta	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
findcard2d.et	|- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
findcard2d.z	|- ( ph -> ch )
findcard2d.i	|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
findcard2d.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
findcard2d	|- ( ph -> et )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z   ps, y, z   ch, x   th, x   ta, x   et, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)

Proof of Theorem findcard2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3162	. 2 |- A C_ A
2		findcard2d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> A e. Fin )
4		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
6		findcard2d.ch	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
7	5, 6	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch ) ) )
8		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9	8	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ y C_ A ) ) )
10		findcard2d.th	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
11	9, 10	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) ) )
12		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
13	12	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
14		findcard2d.ta	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
15	13, 14	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
16		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ A <-> A C_ A ) )
17	16	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
18		findcard2d.et	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) ) )
20		findcard2d.z	. . . . 5 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch )
22		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ph )
23		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
24	23	unssad 3299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
25	22, 24	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ph /\ y C_ A ) )
26		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
27		vsnid 3608	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
28		elun2 3290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
29	27, 28	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. ( y u. { z } ) )
30	26, 29	sseldd 3143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. A )
31	30	ad2antll 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
32		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
33	31, 32	eldifd 3126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
34		findcard2d.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
35	22, 24, 33, 34	syl12anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( th -> ta ) )
36	25, 35	embantd 56	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) )
37	36	ex 114	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) ) )
38	37	com23 78	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
39	7, 11, 15, 19, 21, 38	findcard2s 6856	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) )
40	3, 39	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> et )
41	1, 40	mpan2 422	1 |- ( ph -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  iunfidisj  6911