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Theorem findcard2sd 6794
Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2sd.ch  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
findcard2sd.th  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
findcard2sd.ta  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
findcard2sd.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
findcard2sd.z  |-  ( ph  ->  ch )
findcard2sd.i  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( th  ->  ta ) )
findcard2sd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
findcard2sd  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x    th, x    ta, x    et, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y,
z)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y, z)

Proof of Theorem findcard2sd
StepHypRef Expression
1 ssid 3122 . 2  |-  A  C_  A
2 findcard2sd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
32adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
4 sseq1 3125 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
6 findcard2sd.ch . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
75, 6imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps ) 
<->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ch ) ) )
8 sseq1 3125 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
98anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  y  C_  A )
) )
10 findcard2sd.th . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
119, 10imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th ) ) )
12 sseq1 3125 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1312anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  x  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
14 findcard2sd.ta . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
1513, 14imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  (
y  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ta )
) )
16 sseq1 3125 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1716anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
18 findcard2sd.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
1917, 18imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) ) )
20 findcard2sd.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ch )
22 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  ph )
23 simprr 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
2423unssad 3258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  C_  A )
2522, 24jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ph  /\  y  C_  A ) )
26 simpll 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  e.  Fin )
27 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
28 vsnid 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
{ z }
29 elun2 3249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3127, 30sseldd 3103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  A )
3231ad2antll 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
33 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  y
)
3432, 33eldifd 3086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
35 findcard2sd.i . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( th  ->  ta ) )
3622, 26, 24, 34, 35syl22anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3725, 36embantd 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) )
3837ex 114 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) ) )
3938com23 78 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ( ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ta ) ) )
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 6792 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) )
413, 40mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  et )
421, 41mpan2 422 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481    \ cdif 3073    u. cun 3074    C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   Fincfn 6642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645
This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6803  finexdc  6804  unfidisj  6818  undifdc  6820  ssfirab  6830  fnfi  6833  difinfinf  6994  hashunlem  10582  hashxp  10604  fsumconst  11255  fsumrelem  11272  iuncld  12323  fsumcncntop  12764
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