Theorem findcard2sd 6715

Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2sd.ch	|- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
findcard2sd.th	|- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
findcard2sd.ta	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
findcard2sd.et	|- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
findcard2sd.z	|- ( ph -> ch )
findcard2sd.i	|- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
findcard2sd.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
findcard2sd	|- ( ph -> et )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z   ps, y, z   ch, x   th, x   ta, x   et, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)

Proof of Theorem findcard2sd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3067	. 2 |- A C_ A
2		findcard2sd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
3	2	adantr 272	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> A e. Fin )
4		sseq1 3070	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 455	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
6		findcard2sd.ch	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
7	5, 6	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch ) ) )
8		sseq1 3070	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9	8	anbi2d 455	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ y C_ A ) ) )
10		findcard2sd.th	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
11	9, 10	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) ) )
12		sseq1 3070	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
13	12	anbi2d 455	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
14		findcard2sd.ta	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
15	13, 14	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
16		sseq1 3070	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ A <-> A C_ A ) )
17	16	anbi2d 455	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
18		findcard2sd.et	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) ) )
20		findcard2sd.z	. . . . 5 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch )
22		simprl 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ph )
23		simprr 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
24	23	unssad 3200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
25	22, 24	jca 302	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ph /\ y C_ A ) )
26		simpll 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y e. Fin )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
28		vsnid 3504	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
29		elun2 3191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. ( y u. { z } ) )
31	27, 30	sseldd 3048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. A )
32	31	ad2antll 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
33		simplr 500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
34	32, 33	eldifd 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
35		findcard2sd.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
36	22, 26, 24, 34, 35	syl22anc 1185	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( th -> ta ) )
37	25, 36	embantd 56	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) )
38	37	ex 114	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) ) )
39	38	com23 78	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
40	7, 11, 15, 19, 21, 39	findcard2s 6713	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) )
41	3, 40	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> et )
42	1, 41	mpan2 419	1 |- ( ph -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   \ cdif 3018   u. cun 3019   C_ wss 3021   (/)c0 3310   {csn 3474   Fincfn 6564

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-er 6359  df-en 6565  df-fin 6567

This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6724  finexdc  6725  unfidisj  6739  undifdc  6741  ssfirab  6750  fnfi  6753  difinfinf  6901  hashunlem  10391  hashxp  10413  fsumconst  11062  fsumrelem  11079  iuncld  12066