Theorem findcard2sd 7015

Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2sd.ch	|- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
findcard2sd.th	|- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
findcard2sd.ta	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
findcard2sd.et	|- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
findcard2sd.z	|- ( ph -> ch )
findcard2sd.i	|- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
findcard2sd.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
findcard2sd	|- ( ph -> et )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z   ps, y, z   ch, x   th, x   ta, x   et, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)

Proof of Theorem findcard2sd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3221	. 2 |- A C_ A
2		findcard2sd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> A e. Fin )
4		sseq1 3224	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
6		findcard2sd.ch	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch ) ) )
8		sseq1 3224	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9	8	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ y C_ A ) ) )
10		findcard2sd.th	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
11	9, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) ) )
12		sseq1 3224	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
13	12	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
14		findcard2sd.ta	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
15	13, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
16		sseq1 3224	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ A <-> A C_ A ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
18		findcard2sd.et	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) ) )
20		findcard2sd.z	. . . . 5 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch )
22		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ph )
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
24	23	unssad 3358	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
25	22, 24	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ph /\ y C_ A ) )
26		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y e. Fin )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
28		vsnid 3675	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
29		elun2 3349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. ( y u. { z } ) )
31	27, 30	sseldd 3202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. A )
32	31	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
34	32, 33	eldifd 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
35		findcard2sd.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
36	22, 26, 24, 34, 35	syl22anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( th -> ta ) )
37	25, 36	embantd 56	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) )
38	37	ex 115	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) ) )
39	38	com23 78	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
40	7, 11, 15, 19, 21, 39	findcard2s 7013	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) )
41	3, 40	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> et )
42	1, 41	mpan2 425	1 |- ( ph -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  fimax2gtri  7024  finexdc  7025  unfidisj  7045  undifdc  7047  ssfirab  7059  fnfi  7064  dcfi  7109  difinfinf  7229  hashunlem  10986  hashxp  11008  fsumconst  11880  fsumrelem  11897  fprodcl2lem  12031  fprodconst  12046  fprodap0  12047  fprodrec  12055  fprodap0f  12062  fprodle  12066  fprodmodd  12067  iuncld  14702  fsumcncntop  15154