Theorem findcard2sd 6894

Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2sd.ch	|- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
findcard2sd.th	|- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
findcard2sd.ta	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
findcard2sd.et	|- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
findcard2sd.z	|- ( ph -> ch )
findcard2sd.i	|- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
findcard2sd.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
findcard2sd	|- ( ph -> et )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z   ps, y, z   ch, x   th, x   ta, x   et, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)

Proof of Theorem findcard2sd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3177	. 2 |- A C_ A
2		findcard2sd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> A e. Fin )
4		sseq1 3180	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
6		findcard2sd.ch	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ps <-> ch ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch ) ) )
8		sseq1 3180	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9	8	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ y C_ A ) ) )
10		findcard2sd.th	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ps <-> th ) )
11	9, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) ) )
12		sseq1 3180	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
13	12	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
14		findcard2sd.ta	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ps <-> ta ) )
15	13, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
16		sseq1 3180	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ A <-> A C_ A ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ph /\ x C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
18		findcard2sd.et	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ x C_ A ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) ) )
20		findcard2sd.z	. . . . 5 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ch )
22		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ph )
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
24	23	unssad 3314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
25	22, 24	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ph /\ y C_ A ) )
26		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y e. Fin )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
28		vsnid 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
29		elun2 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. ( y u. { z } ) )
31	27, 30	sseldd 3158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> z e. A )
32	31	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
34	32, 33	eldifd 3141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
35		findcard2sd.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( th -> ta ) )
36	22, 26, 24, 34, 35	syl22anc 1239	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( th -> ta ) )
37	25, 36	embantd 56	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) )
38	37	ex 115	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ta ) ) )
39	38	com23 78	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ph /\ y C_ A ) -> th ) -> ( ( ph /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ta ) ) )
40	7, 11, 15, 19, 21, 39	findcard2s 6892	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> et ) )
41	3, 40	mpcom 36	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> et )
42	1, 41	mpan2 425	1 |- ( ph -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3128   u. cun 3129   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745

This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6903  finexdc  6904  unfidisj  6923  undifdc  6925  ssfirab  6935  fnfi  6938  dcfi  6982  difinfinf  7102  hashunlem  10786  hashxp  10808  fsumconst  11464  fsumrelem  11481  fprodcl2lem  11615  fprodconst  11630  fprodap0  11631  fprodrec  11639  fprodap0f  11646  fprodle  11650  fprodmodd  11651  iuncld  13700  fsumcncntop  14141