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Theorem findcard2sd 6715
Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2sd.ch  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
findcard2sd.th  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
findcard2sd.ta  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
findcard2sd.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
findcard2sd.z  |-  ( ph  ->  ch )
findcard2sd.i  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( th  ->  ta ) )
findcard2sd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
findcard2sd  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x    th, x    ta, x    et, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y,
z)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y, z)

Proof of Theorem findcard2sd
StepHypRef Expression
1 ssid 3067 . 2  |-  A  C_  A
2 findcard2sd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
32adantr 272 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
4 sseq1 3070 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 455 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
6 findcard2sd.ch . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
75, 6imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps ) 
<->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ch ) ) )
8 sseq1 3070 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
98anbi2d 455 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  y  C_  A )
) )
10 findcard2sd.th . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
119, 10imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th ) ) )
12 sseq1 3070 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1312anbi2d 455 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  x  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
14 findcard2sd.ta . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
1513, 14imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  (
y  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ta )
) )
16 sseq1 3070 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1716anbi2d 455 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
18 findcard2sd.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
1917, 18imbi12d 233 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) ) )
20 findcard2sd.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ch )
22 simprl 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  ph )
23 simprr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
2423unssad 3200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  C_  A )
2522, 24jca 302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ph  /\  y  C_  A ) )
26 simpll 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  e.  Fin )
27 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
28 vsnid 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
{ z }
29 elun2 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3127, 30sseldd 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  A )
3231ad2antll 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
33 simplr 500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  y
)
3432, 33eldifd 3031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
35 findcard2sd.i . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( th  ->  ta ) )
3622, 26, 24, 34, 35syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3725, 36embantd 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) )
3837ex 114 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) ) )
3938com23 78 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ( ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ta ) ) )
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 6713 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) )
413, 40mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  et )
421, 41mpan2 419 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448    \ cdif 3018    u. cun 3019    C_ wss 3021   (/)c0 3310   {csn 3474   Fincfn 6564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-er 6359  df-en 6565  df-fin 6567
This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6724  finexdc  6725  unfidisj  6739  undifdc  6741  ssfirab  6750  fnfi  6753  difinfinf  6901  hashunlem  10391  hashxp  10413  fsumconst  11062  fsumrelem  11079  iuncld  12066
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