Theorem mgptopng 13137

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgptopn.2	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	|- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 |- J = ( TopOpen ` R )
2		eqid 2177	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2177	. . . . 5 |- (TopSet ` R ) = (TopSet ` R )
4	2, 3	topnvalg 12699	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( TopOpen ` R ) )
5		mgpbas.1	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` R )
6	5	mgptsetg 13136	. . . . 5 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )
7	5, 2	mgpbasg 13134	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
8	6, 7	oveq12d 5892	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
9	4, 8	eqtr3d 2212	. . 3 |- ( R e. V -> ( TopOpen ` R ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
10	1, 9	eqtrid 2222	. 2 |- ( R e. V -> J = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
11		fnmgp 13130	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
12		elex 2748	. . . . 5 |- ( R e. V -> R e. _V )
13		funfvex 5532	. . . . . 6 |- ( ( Fun mulGrp /\ R e. dom mulGrp ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
14	13	funfni 5316	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	5, 15	eqeltrid 2264	. . 3 |- ( R e. V -> M e. _V )
17		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
18		eqid 2177	. . . 4 |- (TopSet ` M ) = (TopSet ` M )
19	17, 18	topnvalg 12699	. . 3 |- ( M e. _V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
20	16, 19	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
21	10, 20	eqtrd 2210	1 |- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   Fn wfn 5211   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12461  TopSetcts 12541   ↾_t crest 12687   TopOpenctopn 12688  mulGrpcmgp 13128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-tset 12554  df-rest 12689  df-topn 12690  df-mgp 13129

This theorem is referenced by: (None)