ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgptopng Unicode version

Theorem mgptopng 12953
Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgptopn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
Assertion
Ref Expression
mgptopng  |-  ( R  e.  V  ->  J  =  ( TopOpen `  M
) )

Proof of Theorem mgptopng
StepHypRef Expression
1 mgptopn.2 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
2 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2177 . . . . 5  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  R )
42, 3topnvalg 12635 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  (
(TopSet `  R )t  ( Base `  R ) )  =  ( TopOpen `  R
) )
5 mgpbas.1 . . . . . 6  |-  M  =  (mulGrp `  R )
65mgptsetg 12952 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  M ) )
75, 2mgpbasg 12950 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  M
) )
86, 7oveq12d 5886 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  (
(TopSet `  R )t  ( Base `  R ) )  =  ( (TopSet `  M )t  ( Base `  M
) ) )
94, 8eqtr3d 2212 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( TopOpen
`  R )  =  ( (TopSet `  M
)t  ( Base `  M
) ) )
101, 9eqtrid 2222 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  J  =  ( (TopSet `  M )t  ( Base `  M
) ) )
11 fnmgp 12946 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
12 elex 2748 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
13 funfvex 5527 . . . . . 6  |-  ( ( Fun mulGrp  /\  R  e.  dom mulGrp )  ->  (mulGrp `  R )  e.  _V )
1413funfni 5311 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (mulGrp `  R )  e.  _V )
1511, 12, 14sylancr 414 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  (mulGrp `  R )  e.  _V )
165, 15eqeltrid 2264 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  M  e.  _V )
17 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
18 eqid 2177 . . . 4  |-  (TopSet `  M )  =  (TopSet `  M )
1917, 18topnvalg 12635 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  (
(TopSet `  M )t  ( Base `  M ) )  =  ( TopOpen `  M
) )
2016, 19syl 14 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (
(TopSet `  M )t  ( Base `  M ) )  =  ( TopOpen `  M
) )
2110, 20eqtrd 2210 1  |-  ( R  e.  V  ->  J  =  ( TopOpen `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    Fn wfn 5206   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432  TopSetcts 12511   ↾t crest 12623   TopOpenctopn 12624  mulGrpcmgp 12944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-9 8961  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-tset 12524  df-rest 12625  df-topn 12626  df-mgp 12945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator