Theorem mgptopng 13941

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgptopn.2	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	|- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 |- J = ( TopOpen ` R )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- (TopSet ` R ) = (TopSet ` R )
4	2, 3	topnvalg 13333	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( TopOpen ` R ) )
5		mgpbas.1	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` R )
6	5	mgptsetg 13940	. . . . 5 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )
7	5, 2	mgpbasg 13938	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
8	6, 7	oveq12d 6035	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
9	4, 8	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( R e. V -> ( TopOpen ` R ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
10	1, 9	eqtrid 2276	. 2 |- ( R e. V -> J = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
11		fnmgp 13934	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
12		elex 2814	. . . . 5 |- ( R e. V -> R e. _V )
13		funfvex 5656	. . . . . 6 |- ( ( Fun mulGrp /\ R e. dom mulGrp ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
14	13	funfni 5432	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	5, 15	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( R e. V -> M e. _V )
17		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
18		eqid 2231	. . . 4 |- (TopSet ` M ) = (TopSet ` M )
19	17, 18	topnvalg 13333	. . 3 |- ( M e. _V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
20	16, 19	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
21	10, 20	eqtrd 2264	1 |- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081  TopSetcts 13165   ↾_t crest 13321   TopOpenctopn 13322  mulGrpcmgp 13932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-tset 13178  df-rest 13323  df-topn 13324  df-mgp 13933

This theorem is referenced by: (None)