Theorem mgptopng 14228

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgptopn.2	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	|- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 |- J = ( TopOpen ` R )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- (TopSet ` R ) = (TopSet ` R )
4	2, 3	topnvalg 13605	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( TopOpen ` R ) )
5		mgpbas.1	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` R )
6	5	mgptsetg 14227	. . . . 5 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )
7	5, 2	mgpbasg 14224	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
8	6, 7	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
9	4, 8	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( R e. V -> ( TopOpen ` R ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
10	1, 9	eqtrid 2283	. 2 |- ( R e. V -> J = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
11		fnmgp 14219	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
12		elex 2833	. . . . 5 |- ( R e. V -> R e. _V )
13		funfvex 5712	. . . . . 6 |- ( ( Fun mulGrp /\ R e. dom mulGrp ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
14	13	funfni 5483	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
15	11, 12, 14	sylancr 418	. . . 4 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	5, 15	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( R e. V -> M e. _V )
17		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
18		eqid 2238	. . . 4 |- (TopSet ` M ) = (TopSet ` M )
19	17, 18	topnvalg 13605	. . 3 |- ( M e. _V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
20	16, 19	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
21	10, 20	eqtrd 2271	1 |- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352  TopSetcts 13437   ↾_t crest 13593   TopOpenctopn 13594  mulGrpcmgp 14217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-tset 13450  df-rest 13595  df-topn 13596  df-mgp 14218

This theorem is used by: (None)