Theorem mgptopng 14023

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgptopn.2	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	|- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 |- J = ( TopOpen ` R )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- (TopSet ` R ) = (TopSet ` R )
4	2, 3	topnvalg 13414	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( TopOpen ` R ) )
5		mgpbas.1	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` R )
6	5	mgptsetg 14022	. . . . 5 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )
7	5, 2	mgpbasg 14020	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
8	6, 7	oveq12d 6046	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
9	4, 8	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( R e. V -> ( TopOpen ` R ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
10	1, 9	eqtrid 2276	. 2 |- ( R e. V -> J = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
11		fnmgp 14016	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
12		elex 2815	. . . . 5 |- ( R e. V -> R e. _V )
13		funfvex 5665	. . . . . 6 |- ( ( Fun mulGrp /\ R e. dom mulGrp ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
14	13	funfni 5439	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	5, 15	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( R e. V -> M e. _V )
17		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
18		eqid 2231	. . . 4 |- (TopSet ` M ) = (TopSet ` M )
19	17, 18	topnvalg 13414	. . 3 |- ( M e. _V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
20	16, 19	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
21	10, 20	eqtrd 2264	1 |- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162  TopSetcts 13246   ↾_t crest 13402   TopOpenctopn 13403  mulGrpcmgp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-tset 13259  df-rest 13404  df-topn 13405  df-mgp 14015

This theorem is referenced by: (None)