Theorem mgptopng 13691

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgptopn.2	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	|- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 |- J = ( TopOpen ` R )
2		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2205	. . . . 5 |- (TopSet ` R ) = (TopSet ` R )
4	2, 3	topnvalg 13083	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( TopOpen ` R ) )
5		mgpbas.1	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` R )
6	5	mgptsetg 13690	. . . . 5 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )
7	5, 2	mgpbasg 13688	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
8	6, 7	oveq12d 5962	. . . 4 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` R ) ↾t ( Base ` R ) ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
9	4, 8	eqtr3d 2240	. . 3 |- ( R e. V -> ( TopOpen ` R ) = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
10	1, 9	eqtrid 2250	. 2 |- ( R e. V -> J = ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) )
11		fnmgp 13684	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
12		elex 2783	. . . . 5 |- ( R e. V -> R e. _V )
13		funfvex 5593	. . . . . 6 |- ( ( Fun mulGrp /\ R e. dom mulGrp ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
14	13	funfni 5376	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> (mulGrp ` R ) e. _V )
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	5, 15	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( R e. V -> M e. _V )
17		eqid 2205	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
18		eqid 2205	. . . 4 |- (TopSet ` M ) = (TopSet ` M )
19	17, 18	topnvalg 13083	. . 3 |- ( M e. _V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
20	16, 19	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( (TopSet ` M ) ↾t ( Base ` M ) ) = ( TopOpen ` M ) )
21	10, 20	eqtrd 2238	1 |- ( R e. V -> J = ( TopOpen ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832  TopSetcts 12915   ↾_t crest 13071   TopOpenctopn 13072  mulGrpcmgp 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-tset 12928  df-rest 13073  df-topn 13074  df-mgp 13683

This theorem is referenced by: (None)