ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnmgp GIF version

Theorem fnmgp 13137
Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnmgp mulGrp Fn V

Proof of Theorem fnmgp
StepHypRef Expression
1 vex 2742 . . 3 π‘₯ ∈ V
2 plusgslid 12573 . . . 4 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
32simpri 113 . . 3 (+gβ€˜ndx) ∈ β„•
4 mulrslid 12592 . . . . 5 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
54slotex 12491 . . . 4 (π‘₯ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘₯) ∈ V)
65elv 2743 . . 3 (.rβ€˜π‘₯) ∈ V
7 setsex 12496 . . 3 ((π‘₯ ∈ V ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ (.rβ€˜π‘₯) ∈ V) β†’ (π‘₯ sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘₯)⟩) ∈ V)
81, 3, 6, 7mp3an 1337 . 2 (π‘₯ sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘₯)⟩) ∈ V
9 df-mgp 13136 . 2 mulGrp = (π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘₯)⟩))
108, 9fnmpti 5346 1 mulGrp Fn V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  βŸ¨cop 3597   Fn wfn 5213  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„•cn 8921  ndxcnx 12461   sSet csts 12462  Slot cslot 12463  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  mulGrpcmgp 13135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-mgp 13136
This theorem is referenced by:  mgptopng  13144  ringidvalg  13149  dfur2g  13150  mgpf  13199
  Copyright terms: Public domain W3C validator