Theorem fnmgp 13421

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	⊢ mulGrp Fn V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		plusgslid 12733	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
4		mulrslid 12752	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 12648	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (.r‘𝑥) ∈ V)
6	5	elv 2764	. . 3 ⊢ (.r‘𝑥) ∈ V
7		setsex 12653	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑥) ∈ V) → (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V)
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1348	. 2 ⊢ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V
9		df-mgp 13420	. 2 ⊢ mulGrp = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩))
10	8, 9	fnmpti 5383	1 ⊢ mulGrp Fn V

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ⟨cop 3622   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℕcn 8984  ndxcnx 12618   sSet csts 12619  Slot cslot 12620  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  mulGrpcmgp 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-mgp 13420

This theorem is referenced by:  mgptopng  13428  rngmgpf  13436  ringidvalg  13460  dfur2g  13461  mgpf  13510