Theorem fnmgp 14083

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	⊢ mulGrp Fn V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		plusgslid 13342	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
4		mulrslid 13362	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 13256	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (.r‘𝑥) ∈ V)
6	5	elv 2819	. . 3 ⊢ (.r‘𝑥) ∈ V
7		setsex 13261	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑥) ∈ V) → (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V)
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1374	. 2 ⊢ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V
9		df-mgp 14082	. 2 ⊢ mulGrp = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩))
10	8, 9	fnmpti 5489	1 ⊢ mulGrp Fn V

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ⟨cop 3694   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℕcn 9239  ndxcnx 13226   sSet csts 13227  Slot cslot 13228  +_gcplusg 13307  ._rcmulr 13308  mulGrpcmgp 14081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-sets 13236  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-mgp 14082

This theorem is referenced by:  mgptopng  14090  rngmgpf  14098  ringidvalg  14122  dfur2g  14123  mgpf  14172