Theorem fnmgp 13478

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	⊢ mulGrp Fn V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		plusgslid 12790	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
4		mulrslid 12809	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 12705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (.r‘𝑥) ∈ V)
6	5	elv 2767	. . 3 ⊢ (.r‘𝑥) ∈ V
7		setsex 12710	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑥) ∈ V) → (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V)
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1348	. 2 ⊢ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V
9		df-mgp 13477	. 2 ⊢ mulGrp = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩))
10	8, 9	fnmpti 5386	1 ⊢ mulGrp Fn V

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ⟨cop 3625   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℕcn 8990  ndxcnx 12675   sSet csts 12676  Slot cslot 12677  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  mulGrpcmgp 13476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-mgp 13477

This theorem is referenced by:  mgptopng  13485  rngmgpf  13493  ringidvalg  13517  dfur2g  13518  mgpf  13567