Theorem fnmgp 13893

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	⊢ mulGrp Fn V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		plusgslid 13153	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
4		mulrslid 13173	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 13067	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (.r‘𝑥) ∈ V)
6	5	elv 2803	. . 3 ⊢ (.r‘𝑥) ∈ V
7		setsex 13072	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑥) ∈ V) → (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V)
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1371	. 2 ⊢ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V
9		df-mgp 13892	. 2 ⊢ mulGrp = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩))
10	8, 9	fnmpti 5452	1 ⊢ mulGrp Fn V

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℕcn 9118  ndxcnx 13037   sSet csts 13038  Slot cslot 13039  +_gcplusg 13118  ._rcmulr 13119  mulGrpcmgp 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-mgp 13892

This theorem is referenced by:  mgptopng  13900  rngmgpf  13908  ringidvalg  13932  dfur2g  13933  mgpf  13982