Theorem fnmgp 14221

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	⊢ mulGrp Fn V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		plusgslid 13468	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
4		mulrslid 13488	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 13381	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (.r‘𝑥) ∈ V)
6	5	elv 2825	. . 3 ⊢ (.r‘𝑥) ∈ V
7		setsex 13386	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑥) ∈ V) → (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V)
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1378	. 2 ⊢ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩) ∈ V
9		df-mgp 14220	. 2 ⊢ mulGrp = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑥)⟩))
10	8, 9	fnmpti 5512	1 ⊢ mulGrp Fn V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℕcn 9305  ndxcnx 13351   sSet csts 13352  Slot cslot 13353  +_gcplusg 13433  ._rcmulr 13434  mulGrpcmgp 14219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-sets 13361  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-mgp 14220

This theorem is used by:  mgpplusg  14224  mgpbas  14227  mgptopng  14230  rngmgpf  14238  ringidvalg  14266  ringidval  14267  dfur2g  14268  mgpf  14317