Theorem mgpvalg 13086

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	|- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 |- M = (mulGrp ` R )
2		df-mgp 13084	. . 3 |- mulGrp = ( r e. _V |-> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) )
3		id 19	. . . 4 |- ( r = R -> r = R )
4		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
5		mgpval.2	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	eqtr4di 2228	. . . . 5 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
7	6	opeq2d 3785	. . . 4 |- ( r = R -> <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. = <. ( +g ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 5892	. . 3 |- ( r = R -> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2748	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
10		plusgslid 12565	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
13		mulrslid 12584	. . . . . 6 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
14	13	slotex 12483	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
15	5, 14	eqeltrid 2264	. . . 4 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
16		setsex 12488	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
17	12, 15, 16	mpd3an23 1339	. . 3 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5609	. 2 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
19	1, 18	eqtrid 2222	1 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3595   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   NNcn 8917   ndxcnx 12453   sSet csts 12454  Slot cslot 12455   +g cplusg 12530   .rcmulr 12531  mulGrpcmgp 13083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-mgp 13084

This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13087  mgpex  13088  mgpbasg  13089  mgpscag  13090  mgptsetg  13091  mgpdsg  13093  mgpress  13094