ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpvalg Unicode version

Theorem mgpvalg 13138
Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpval.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mgpvalg  |-  ( R  e.  V  ->  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. ) )

Proof of Theorem mgpvalg
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgpval.1 . 2  |-  M  =  (mulGrp `  R )
2 df-mgp 13136 . . 3  |- mulGrp  =  ( r  e.  _V  |->  ( r sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  r ) >. )
)
3 id 19 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  r  =  R )
4 fveq2 5517 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
5 mgpval.2 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
64, 5eqtr4di 2228 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
76opeq2d 3787 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  r
) >.  =  <. ( +g  `  ndx ) , 
.x.  >. )
83, 7oveq12d 5895 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
r sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  r ) >. )  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. ) )
9 elex 2750 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
10 plusgslid 12573 . . . . . 6  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
1110simpri 113 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  e.  NN
1211a1i 9 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
13 mulrslid 12592 . . . . . 6  |-  ( .r  = Slot  ( .r `  ndx )  /\  ( .r `  ndx )  e.  NN )
1413slotex 12491 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( .r `  R )  e. 
_V )
155, 14eqeltrid 2264 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  .x.  e.  _V )
16 setsex 12496 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN  /\  .x.  e.  _V )  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )  e.  _V )
1712, 15, 16mpd3an23 1339 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )  e.  _V )
182, 8, 9, 17fvmptd3 5611 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (mulGrp `  R )  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
191, 18eqtrid 2222 1  |-  ( R  e.  V  ->  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2739   <.cop 3597   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   NNcn 8921   ndxcnx 12461   sSet csts 12462  Slot cslot 12463   +g cplusg 12538   .rcmulr 12539  mulGrpcmgp 13135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-mgp 13136
This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13139  mgpex  13140  mgpbasg  13141  mgpscag  13142  mgptsetg  13143  mgpdsg  13145  mgpress  13146
  Copyright terms: Public domain W3C validator