Theorem mgpvalg 14220

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	|- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 |- M = (mulGrp ` R )
2		df-mgp 14218	. . 3 |- mulGrp = ( r e. _V |-> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) )
3		id 19	. . . 4 |- ( r = R -> r = R )
4		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
5		mgpval.2	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
7	6	opeq2d 3911	. . . 4 |- ( r = R -> <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. = <. ( +g ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 6103	. . 3 |- ( r = R -> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2833	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
10		plusgslid 13466	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
13		mulrslid 13486	. . . . . 6 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
14	13	slotex 13379	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
15	5, 14	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
16		setsex 13384	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
17	12, 15, 16	mpd3an23 1380	. . 3 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5799	. 2 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
19	1, 18	eqtrid 2283	1 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   NNcn 9304   ndxcnx 13349   sSet csts 13350  Slot cslot 13351   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432  mulGrpcmgp 14217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-mgp 14218

This theorem is used by:  mgpplusgg  14221  mgpex  14223  mgpbasg  14224  mgpscag  14226  mgptsetg  14227  mgpdsg  14229  mgpress  14230