Theorem mgpvalg 13718

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	|- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 |- M = (mulGrp ` R )
2		df-mgp 13716	. . 3 |- mulGrp = ( r e. _V |-> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) )
3		id 19	. . . 4 |- ( r = R -> r = R )
4		fveq2 5578	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
5		mgpval.2	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	eqtr4di 2256	. . . . 5 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
7	6	opeq2d 3826	. . . 4 |- ( r = R -> <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. = <. ( +g ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 5964	. . 3 |- ( r = R -> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2783	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
10		plusgslid 12977	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
13		mulrslid 12997	. . . . . 6 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
14	13	slotex 12892	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
15	5, 14	eqeltrid 2292	. . . 4 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
16		setsex 12897	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
17	12, 15, 16	mpd3an23 1352	. . 3 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5675	. 2 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
19	1, 18	eqtrid 2250	1 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   NNcn 9038   ndxcnx 12862   sSet csts 12863  Slot cslot 12864   +g cplusg 12942   .rcmulr 12943  mulGrpcmgp 13715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-sets 12872  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-mgp 13716

This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13719  mgpex  13720  mgpbasg  13721  mgpscag  13722  mgptsetg  13723  mgpdsg  13725  mgpress  13726