Theorem mgpvalg 14067

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	|- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 |- M = (mulGrp ` R )
2		df-mgp 14065	. . 3 |- mulGrp = ( r e. _V |-> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) )
3		id 19	. . . 4 |- ( r = R -> r = R )
4		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
5		mgpval.2	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	4, 5	eqtr4di 2283	. . . . 5 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
7	6	opeq2d 3890	. . . 4 |- ( r = R -> <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. = <. ( +g ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 6068	. . 3 |- ( r = R -> ( r sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` r ) >. ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2825	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
10		plusgslid 13325	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( R e. V -> ( +g ` ndx ) e. NN )
13		mulrslid 13345	. . . . . 6 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
14	13	slotex 13239	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
15	5, 14	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
16		setsex 13244	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
17	12, 15, 16	mpd3an23 1376	. . 3 |- ( R e. V -> ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5771	. 2 |- ( R e. V -> (mulGrp ` R ) = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
19	1, 18	eqtrid 2277	1 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   <.cop 3692   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   NNcn 9237   ndxcnx 13209   sSet csts 13210  Slot cslot 13211   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291  mulGrpcmgp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-mgp 14065

This theorem is referenced by:  mgpplusgg  14068  mgpex  14069  mgpbasg  14070  mgpscag  14071  mgptsetg  14072  mgpdsg  14074  mgpress  14075