ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringidvalg Unicode version

Theorem ringidvalg 12957
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
ringidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringidvalg  |-  ( R  e.  V  ->  .1.  =  ( 0g `  G ) )

Proof of Theorem ringidvalg
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 df-ur 12956 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
32fveq1i 5511 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
4 fnmgp 12946 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
5 fvco2 5580 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
64, 5mpan 424 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
73, 6eqtrid 2222 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
81, 7syl 14 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
9 ringidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 ringidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1110fveq2i 5513 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
128, 9, 113eqtr4g 2235 1  |-  ( R  e.  V  ->  .1.  =  ( 0g `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    o. ccom 4626    Fn wfn 5206   ` cfv 5211   0gc0g 12640  mulGrpcmgp 12944   1rcur 12955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-mgp 12945  df-ur 12956
This theorem is referenced by:  dfur2g  12958  srgidcl  12972  srgidmlem  12974  issrgid  12977  srgpcomp  12986  srg1expzeq1  12991  ringidcl  13016  ringidmlem  13018  isringid  13021  oppr1g  13064  unitsubm  13100
  Copyright terms: Public domain W3C validator