Theorem ringidvalg 14313

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	|- G = (mulGrp ` R )
ringidval.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	|- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		df-ur 14312	. . . . 5 |- 1r = ( 0g o. mulGrp )
3	2	fveq1i 5696	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( ( 0g o. mulGrp ) ` R )
4		fnmgp 14268	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
5		fvco2 5774	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3, 6	eqtrid 2283	. . 3 |- ( R e. _V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
8	1, 7	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidval.u	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
10		ringidval.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
11	10	fveq2i 5698	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2296	1 |- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   o. ccom 4778   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   0gc0g 13659  mulGrpcmgp 14266   1rcur 14311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-sets 13408  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-mgp 14267  df-ur 14312

This theorem is used by:  ringidval  14314  dfur2g  14315  srgidcl  14329  srgidmlem  14331  issrgid  14334  srgpcomp  14343  srg1expzeq1  14348  ringidcl  14374  ringidmlem  14376  isringid  14379  oppr1g  14437  unitsubm  14475  rngidpropdg  14502  dfrhm2  14510  isrhm2d  14521  rhm1  14523  subrgsubm  14591  issubrg3  14604  cnfldexp  14963