Theorem ringidvalg 13460

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	|- G = (mulGrp ` R )
ringidval.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	|- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		df-ur 13459	. . . . 5 |- 1r = ( 0g o. mulGrp )
3	2	fveq1i 5556	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( ( 0g o. mulGrp ) ` R )
4		fnmgp 13421	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
5		fvco2 5627	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3, 6	eqtrid 2238	. . 3 |- ( R e. _V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
8	1, 7	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidval.u	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
10		ringidval.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
11	10	fveq2i 5558	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2251	1 |- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   o. ccom 4664   Fn wfn 5250   ` cfv 5255   0gc0g 12870  mulGrpcmgp 13419   1rcur 13458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-mgp 13420  df-ur 13459

This theorem is referenced by:  dfur2g  13461  srgidcl  13475  srgidmlem  13477  issrgid  13480  srgpcomp  13489  srg1expzeq1  13494  ringidcl  13519  ringidmlem  13521  isringid  13524  oppr1g  13581  unitsubm  13618  rngidpropdg  13645  dfrhm2  13653  isrhm2d  13664  rhm1  13666  subrgsubm  13733  issubrg3  13746  cnfldexp  14076