Theorem ringidvalg 13457

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	|- G = (mulGrp ` R )
ringidval.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	|- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		df-ur 13456	. . . . 5 |- 1r = ( 0g o. mulGrp )
3	2	fveq1i 5555	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( ( 0g o. mulGrp ) ` R )
4		fnmgp 13418	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
5		fvco2 5626	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3, 6	eqtrid 2238	. . 3 |- ( R e. _V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
8	1, 7	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidval.u	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
10		ringidval.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
11	10	fveq2i 5557	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2251	1 |- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   o. ccom 4663   Fn wfn 5249   ` cfv 5254   0gc0g 12867  mulGrpcmgp 13416   1rcur 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-mgp 13417  df-ur 13456

This theorem is referenced by:  dfur2g  13458  srgidcl  13472  srgidmlem  13474  issrgid  13477  srgpcomp  13486  srg1expzeq1  13491  ringidcl  13516  ringidmlem  13518  isringid  13521  oppr1g  13578  unitsubm  13615  rngidpropdg  13642  dfrhm2  13650  isrhm2d  13661  rhm1  13663  subrgsubm  13730  issubrg3  13743  cnfldexp  14065