Theorem ringidvalg 13940

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	|- G = (mulGrp ` R )
ringidval.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	|- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		df-ur 13939	. . . . 5 |- 1r = ( 0g o. mulGrp )
3	2	fveq1i 5630	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( ( 0g o. mulGrp ) ` R )
4		fnmgp 13901	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
5		fvco2 5705	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3, 6	eqtrid 2274	. . 3 |- ( R e. _V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
8	1, 7	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidval.u	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
10		ringidval.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
11	10	fveq2i 5632	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2287	1 |- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   o. ccom 4723   Fn wfn 5313   ` cfv 5318   0gc0g 13305  mulGrpcmgp 13899   1rcur 13938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-sets 13055  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-mgp 13900  df-ur 13939

This theorem is referenced by:  dfur2g  13941  srgidcl  13955  srgidmlem  13957  issrgid  13960  srgpcomp  13969  srg1expzeq1  13974  ringidcl  13999  ringidmlem  14001  isringid  14004  oppr1g  14061  unitsubm  14099  rngidpropdg  14126  dfrhm2  14134  isrhm2d  14145  rhm1  14147  subrgsubm  14214  issubrg3  14227  cnfldexp  14557