Theorem ringidvalg 12937

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	|- G = (mulGrp ` R )
ringidval.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	|- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2746	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		df-ur 12936	. . . . 5 |- 1r = ( 0g o. mulGrp )
3	2	fveq1i 5508	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( ( 0g o. mulGrp ) ` R )
4		fnmgp 12927	. . . . 5 |- mulGrp Fn _V
5		fvco2 5577	. . . . 5 |- ( (mulGrp Fn _V /\ R e. _V ) -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( 0g o. mulGrp ) ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3, 6	eqtrid 2220	. . 3 |- ( R e. _V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
8	1, 7	syl 14	. 2 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidval.u	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
10		ringidval.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
11	10	fveq2i 5510	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2233	1 |- ( R e. V -> .1. = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   o. ccom 4624   Fn wfn 5203   ` cfv 5208   0gc0g 12626  mulGrpcmgp 12925   1rcur 12935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-mgp 12926  df-ur 12936

This theorem is referenced by:  dfur2g  12938  srgidcl  12952  srgidmlem  12954  issrgid  12957  srgpcomp  12966  srg1expzeq1  12971