ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrev2 Unicode version

Theorem fzrev2 9706
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  -  K
)  e.  ( ( J  -  N ) ... ( J  -  M ) ) ) )

Proof of Theorem fzrev2
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
2 zsubcl 8947 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  -  K
)  e.  ZZ )
31, 2jca 302 . . 3  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ZZ  /\  ( J  -  K
)  e.  ZZ ) )
4 fzrev 9705 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  ( J  -  K )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  ( J  -  K ) )  e.  ( M ... N
) ) )
53, 4sylan2 282 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  ( J  -  K ) )  e.  ( M ... N
) ) )
6 zcn 8911 . . . . 5  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  CC )
7 zcn 8911 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
8 nncan 7862 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( J  -  ( J  -  K )
)  =  K )
96, 7, 8syl2an 285 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  -  ( J  -  K )
)  =  K )
109adantl 273 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  ( J  -  K )
)  =  K )
1110eleq1d 2168 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  ( J  -  K
) )  e.  ( M ... N )  <-> 
K  e.  ( M ... N ) ) )
125, 11bitr2d 188 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  -  K
)  e.  ( ( J  -  N ) ... ( J  -  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448  (class class class)co 5706   CCcc 7498    - cmin 7804   ZZcz 8906   ...cfz 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-fz 9632
This theorem is referenced by:  fzrev2i  9707  fsumrev  11051
  Copyright terms: Public domain W3C validator