Theorem zsubcl 9487

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9451	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9451	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		negsub 8394	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5		znegcl 9477	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
6		zaddcl 9486	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
8	4, 7	eqeltrrd 2307	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  ztri3or  9489  zrevaddcl  9497  znnsub  9498  nzadd  9499  znn0sub  9512  zneo  9548  zsubcld  9574  eluzsubi  9750  fzen  10239  uzsubsubfz  10243  fzrev  10280  fzrev2  10281  fzrevral2  10302  fzshftral  10304  fz0fzdiffz0  10326  difelfzle  10330  difelfznle  10331  fzo0n  10364  elfzomelpfzo  10437  zmodcl  10566  frecfzen2  10649  facndiv  10961  bccmpl  10976  bcpasc  10988  hashfz  11043  swrdspsleq  11199  pfxccatin12lem4  11258  pfxccatin12lem2a  11259  pfxccatin12lem1  11260  pfxccatin12lem2  11263  swrdccat  11267  moddvds  12310  modmulconst  12334  dvds2sub  12337  dvdssub2  12346  dvdssubr  12350  fzocongeq  12369  3dvds  12375  odd2np1  12384  omoe  12407  omeo  12409  divalgb  12436  divalgmod  12438  ndvdsadd  12442  nn0seqcvgd  12563  congr  12622  cncongr1  12625  cncongr2  12626  prmdiv  12757  prmdiveq  12758  pythagtriplem4  12791  pythagtriplem8  12795  difsqpwdvds  12861  gausslemma2dlem6  15746  lgsquadlem1  15756