Theorem zsubcl 9095

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9059	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9059	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		negsub 8010	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5		znegcl 9085	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
6		zaddcl 9094	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
7	5, 6	sylan2 284	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
8	4, 7	eqeltrrd 2217	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623   - cmin 7933   -ucneg 7934   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  ztri3or  9097  zrevaddcl  9104  znnsub  9105  nzadd  9106  znn0sub  9119  zneo  9152  zsubcld  9178  eluzsubi  9353  fzen  9823  uzsubsubfz  9827  fzrev  9864  fzrev2  9865  fzrevral2  9886  fzshftral  9888  fz0fzdiffz0  9907  difelfzle  9911  difelfznle  9912  elfzomelpfzo  10008  zmodcl  10117  frecfzen2  10200  facndiv  10485  bccmpl  10500  bcpasc  10512  hashfz  10567  moddvds  11502  modmulconst  11525  dvds2sub  11528  dvdssub2  11535  dvdssubr  11539  fzocongeq  11556  odd2np1  11570  omoe  11593  omeo  11595  divalgb  11622  divalgmod  11624  ndvdsadd  11628  nn0seqcvgd  11722  congr  11781  cncongr1  11784  cncongr2  11785