Theorem zsubcl 9119

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9083	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9083	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		negsub 8034	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5		znegcl 9109	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
6		zaddcl 9118	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
7	5, 6	sylan2 284	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
8	4, 7	eqeltrrd 2218	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   CCcc 7642   + caddc 7647   - cmin 7957   -ucneg 7958   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  ztri3or  9121  zrevaddcl  9128  znnsub  9129  nzadd  9130  znn0sub  9143  zneo  9176  zsubcld  9202  eluzsubi  9377  fzen  9854  uzsubsubfz  9858  fzrev  9895  fzrev2  9896  fzrevral2  9917  fzshftral  9919  fz0fzdiffz0  9938  difelfzle  9942  difelfznle  9943  elfzomelpfzo  10039  zmodcl  10148  frecfzen2  10231  facndiv  10517  bccmpl  10532  bcpasc  10544  hashfz  10599  moddvds  11538  modmulconst  11561  dvds2sub  11564  dvdssub2  11571  dvdssubr  11575  fzocongeq  11592  odd2np1  11606  omoe  11629  omeo  11631  divalgb  11658  divalgmod  11660  ndvdsadd  11664  nn0seqcvgd  11758  congr  11817  cncongr1  11820  cncongr2  11821