Theorem zsubcl 9448

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9412	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9412	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		negsub 8355	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5		znegcl 9438	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
6		zaddcl 9447	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
8	4, 7	eqeltrrd 2285	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   + caddc 7963   - cmin 8278   -ucneg 8279   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  ztri3or  9450  zrevaddcl  9458  znnsub  9459  nzadd  9460  znn0sub  9473  zneo  9509  zsubcld  9535  eluzsubi  9711  fzen  10200  uzsubsubfz  10204  fzrev  10241  fzrev2  10242  fzrevral2  10263  fzshftral  10265  fz0fzdiffz0  10287  difelfzle  10291  difelfznle  10292  fzo0n  10325  elfzomelpfzo  10397  zmodcl  10526  frecfzen2  10609  facndiv  10921  bccmpl  10936  bcpasc  10948  hashfz  11003  swrdspsleq  11158  pfxccatin12lem4  11217  pfxccatin12lem2a  11218  pfxccatin12lem1  11219  pfxccatin12lem2  11222  swrdccat  11226  moddvds  12225  modmulconst  12249  dvds2sub  12252  dvdssub2  12261  dvdssubr  12265  fzocongeq  12284  3dvds  12290  odd2np1  12299  omoe  12322  omeo  12324  divalgb  12351  divalgmod  12353  ndvdsadd  12357  nn0seqcvgd  12478  congr  12537  cncongr1  12540  cncongr2  12541  prmdiv  12672  prmdiveq  12673  pythagtriplem4  12706  pythagtriplem8  12710  difsqpwdvds  12776  gausslemma2dlem6  15659  lgsquadlem1  15669