Theorem zsubcl 9413

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9377	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9377	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		negsub 8320	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5		znegcl 9403	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
6		zaddcl 9412	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
7	5, 6	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
8	4, 7	eqeltrrd 2283	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   CCcc 7923   + caddc 7928   - cmin 8243   -ucneg 8244   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  ztri3or  9415  zrevaddcl  9423  znnsub  9424  nzadd  9425  znn0sub  9438  zneo  9474  zsubcld  9500  eluzsubi  9676  fzen  10165  uzsubsubfz  10169  fzrev  10206  fzrev2  10207  fzrevral2  10228  fzshftral  10230  fz0fzdiffz0  10252  difelfzle  10256  difelfznle  10257  fzo0n  10290  elfzomelpfzo  10360  zmodcl  10489  frecfzen2  10572  facndiv  10884  bccmpl  10899  bcpasc  10911  hashfz  10966  swrdspsleq  11120  moddvds  12110  modmulconst  12134  dvds2sub  12137  dvdssub2  12146  dvdssubr  12150  fzocongeq  12169  3dvds  12175  odd2np1  12184  omoe  12207  omeo  12209  divalgb  12236  divalgmod  12238  ndvdsadd  12242  nn0seqcvgd  12363  congr  12422  cncongr1  12425  cncongr2  12426  prmdiv  12557  prmdiveq  12558  pythagtriplem4  12591  pythagtriplem8  12595  difsqpwdvds  12661  gausslemma2dlem6  15544  lgsquadlem1  15554