Theorem zsubcl 9228

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9192	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
2		zcn 9192	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		negsub 8142	. . 3 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
5		znegcl 9218	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
6		zaddcl 9227	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
7	5, 6	sylan2 284	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) e. ZZ )
8	4, 7	eqeltrrd 2243	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5841   CCcc 7747   + caddc 7752   - cmin 8065   -ucneg 8066   ZZcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  ztri3or  9230  zrevaddcl  9237  znnsub  9238  nzadd  9239  znn0sub  9252  zneo  9288  zsubcld  9314  eluzsubi  9489  fzen  9974  uzsubsubfz  9978  fzrev  10015  fzrev2  10016  fzrevral2  10037  fzshftral  10039  fz0fzdiffz0  10061  difelfzle  10065  difelfznle  10066  elfzomelpfzo  10162  zmodcl  10275  frecfzen2  10358  facndiv  10648  bccmpl  10663  bcpasc  10675  hashfz  10730  moddvds  11735  modmulconst  11759  dvds2sub  11762  dvdssub2  11771  dvdssubr  11775  fzocongeq  11792  odd2np1  11806  omoe  11829  omeo  11831  divalgb  11858  divalgmod  11860  ndvdsadd  11864  nn0seqcvgd  11969  congr  12028  cncongr1  12031  cncongr2  12032  prmdiv  12163  prmdiveq  12164  pythagtriplem4  12196  pythagtriplem8  12200  difsqpwdvds  12265