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Theorem fzrev 10418
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 9581 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
2 zre 9581 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
3 zre 9581 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4 suble 8714 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1316 . . . . . . 7 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
653comr 1238 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
763expb 1231 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
87adantll 476 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
9 zre 9581 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
10 lesub 8715 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
119, 1, 2, 10syl3an 1316 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
12113expb 1231 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
1312adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
148, 13anbi12d 473 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
15 ancom 266 . . 3 |- ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) )
1614, 15bitr3di 195 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
17 simprr 533 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
18 zsubcl 9618 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
1918ancoms 268 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
2019ad2ant2lr 510 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - N ) e. ZZ )
21 zsubcl 9618 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2221ancoms 268 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2322ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - M ) e. ZZ )
24 elfz 10348 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( J - N ) e. ZZ /\ ( J - M ) e. ZZ ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1274 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
26 zsubcl 9618 . . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J - K ) e. ZZ )
2726adantl 277 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - K ) e. ZZ )
28 simpll 527 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
29 simplr 529 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
30 elfz 10348 . . 3 |- ( ( ( J - K ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1274 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3216, 25, 313bitr4d 220 1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   <_ cle 8309   - cmin 8444   ZZcz 9577   ...cfz 10342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-fz 10343
This theorem is referenced by:  fzrev2  10419  fzrev3  10421  fzrevral  10439  fsumrev  12129  fprodrev  12305
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