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Theorem fzrev 10040
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 9216 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
2 zre 9216 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
3 zre 9216 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4 suble 8359 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1275 . . . . . . 7 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
653comr 1206 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
763expb 1199 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
87adantll 473 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
9 zre 9216 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
10 lesub 8360 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
119, 1, 2, 10syl3an 1275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
12113expb 1199 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
1312adantlr 474 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
148, 13anbi12d 470 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
15 ancom 264 . . 3 |- ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) )
1614, 15bitr3di 194 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
17 simprr 527 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
18 zsubcl 9253 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
1918ancoms 266 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
2019ad2ant2lr 507 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - N ) e. ZZ )
21 zsubcl 9253 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2221ancoms 266 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2322ad2ant2r 506 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - M ) e. ZZ )
24 elfz 9971 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( J - N ) e. ZZ /\ ( J - M ) e. ZZ ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1233 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
26 zsubcl 9253 . . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J - K ) e. ZZ )
2726adantl 275 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - K ) e. ZZ )
28 simpll 524 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
29 simplr 525 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
30 elfz 9971 . . 3 |- ( ( ( J - K ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1233 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3216, 25, 313bitr4d 219 1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   <_ cle 7955   - cmin 8090   ZZcz 9212   ...cfz 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-fz 9966
This theorem is referenced by:  fzrev2  10041  fzrev3  10043  fzrevral  10061  fsumrev  11406  fprodrev  11582
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