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Theorem fzrev 10292
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 9461 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
2 zre 9461 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
3 zre 9461 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4 suble 8598 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1313 . . . . . . 7 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
653comr 1235 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
763expb 1228 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
87adantll 476 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
9 zre 9461 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
10 lesub 8599 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
119, 1, 2, 10syl3an 1313 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
12113expb 1228 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
1312adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
148, 13anbi12d 473 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
15 ancom 266 . . 3 |- ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) )
1614, 15bitr3di 195 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
17 simprr 531 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
18 zsubcl 9498 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
1918ancoms 268 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
2019ad2ant2lr 510 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - N ) e. ZZ )
21 zsubcl 9498 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2221ancoms 268 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2322ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - M ) e. ZZ )
24 elfz 10222 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( J - N ) e. ZZ /\ ( J - M ) e. ZZ ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1271 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
26 zsubcl 9498 . . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J - K ) e. ZZ )
2726adantl 277 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - K ) e. ZZ )
28 simpll 527 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
29 simplr 528 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
30 elfz 10222 . . 3 |- ( ( ( J - K ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1271 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3216, 25, 313bitr4d 220 1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   RRcr 8009   <_ cle 8193   - cmin 8328   ZZcz 9457   ...cfz 10216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-fz 10217
This theorem is referenced by:  fzrev2  10293  fzrev3  10295  fzrevral  10313  fsumrev  11970  fprodrev  12146
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