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Theorem fzrev 10120
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 9292 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
2 zre 9292 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
3 zre 9292 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 suble 8432 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
51, 2, 3, 4syl3an 1291 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
653comr 1213 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
763expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
87adantll 476 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K ) )
9 zre 9292 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
10 lesub 8433 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
119, 1, 2, 10syl3an 1291 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
12113expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  ( J  -  K
)  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1312adantlr 477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
148, 13anbi12d 473 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  K )  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
15 ancom 266 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K ) )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) )
1614, 15bitr3di 195 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
)  <->  ( M  <_ 
( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
17 simprr 531 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
18 zsubcl 9329 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
1918ancoms 268 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
2019ad2ant2lr 510 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  N
)  e.  ZZ )
21 zsubcl 9329 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2221ancoms 268 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2322ad2ant2r 509 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  M
)  e.  ZZ )
24 elfz 10050 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( J  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( J  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( ( J  -  N ) ... ( J  -  M )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1249 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_ 
( J  -  M
) ) ) )
26 zsubcl 9329 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  -  K
)  e.  ZZ )
2726adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  K
)  e.  ZZ )
28 simpll 527 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
29 simplr 528 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
30 elfz 10050 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1249 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  <_  ( J  -  K )  /\  ( J  -  K
)  <_  N )
) )
3216, 25, 313bitr4d 220 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   RRcr 7845    <_ cle 8028    - cmin 8163   ZZcz 9288   ...cfz 10044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-fz 10045
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