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Theorem fzrev 10070
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 9246 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
2 zre 9246 . . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
3 zre 9246 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4 suble 8387 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1280 . . . . . . 7 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
653comr 1211 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
763expb 1204 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
87adantll 476 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) <_ N <-> ( J - N ) <_ K ) )
9 zre 9246 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
10 lesub 8388 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
119, 1, 2, 10syl3an 1280 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
12113expb 1204 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
1312adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ ( J - K ) <-> K <_ ( J - M ) ) )
148, 13anbi12d 473 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
15 ancom 266 . . 3 |- ( ( ( J - K ) <_ N /\ M <_ ( J - K ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) )
1614, 15bitr3di 195 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
17 simprr 531 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
18 zsubcl 9283 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
1918ancoms 268 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - N ) e. ZZ )
2019ad2ant2lr 510 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - N ) e. ZZ )
21 zsubcl 9283 . . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2221ancoms 268 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( J - M ) e. ZZ )
2322ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - M ) e. ZZ )
24 elfz 10001 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( J - N ) e. ZZ /\ ( J - M ) e. ZZ ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1238 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( ( J - N ) <_ K /\ K <_ ( J - M ) ) ) )
26 zsubcl 9283 . . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J - K ) e. ZZ )
2726adantl 277 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J - K ) e. ZZ )
28 simpll 527 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
29 simplr 528 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
30 elfz 10001 . . 3 |- ( ( ( J - K ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1238 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J - K ) e. ( M ... N ) <-> ( M <_ ( J - K ) /\ ( J - K ) <_ N ) ) )
3216, 25, 313bitr4d 220 1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( J - N ) ... ( J - M ) ) <-> ( J - K ) e. ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   <_ cle 7983   - cmin 8118   ZZcz 9242   ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-fz 9996
This theorem is referenced by:  fzrev2  10071  fzrev3  10073  fzrevral  10091  fsumrev  11435  fprodrev  11611
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