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Theorem fzrev 9857
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 ancom 264 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K ) )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) )
2 zre 9051 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
3 zre 9051 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
4 zre 9051 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 suble 8195 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
62, 3, 4, 5syl3an 1258 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
763comr 1189 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
873expb 1182 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
98adantll 467 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K ) )
10 zre 9051 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
11 lesub 8196 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1210, 2, 3, 11syl3an 1258 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
13123expb 1182 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  ( J  -  K
)  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1413adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
159, 14anbi12d 464 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  K )  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
161, 15syl5rbbr 194 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
)  <->  ( M  <_ 
( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
17 simprr 521 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
18 zsubcl 9088 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
1918ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
2019ad2ant2lr 501 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  N
)  e.  ZZ )
21 zsubcl 9088 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2221ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2322ad2ant2r 500 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  M
)  e.  ZZ )
24 elfz 9789 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( J  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( J  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( ( J  -  N ) ... ( J  -  M )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_ 
( J  -  M
) ) ) )
26 zsubcl 9088 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  -  K
)  e.  ZZ )
2726adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  K
)  e.  ZZ )
28 simpll 518 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
29 simplr 519 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
30 elfz 9789 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  <_  ( J  -  K )  /\  ( J  -  K
)  <_  N )
) )
3216, 25, 313bitr4d 219 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612    <_ cle 7794    - cmin 7926   ZZcz 9047   ...cfz 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-fz 9784
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