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Theorem fzrev 9486
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 ancom 262 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K ) )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) )
2 zre 8744 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
3 zre 8744 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
4 zre 8744 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 suble 7908 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
62, 3, 4, 5syl3an 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
763comr 1151 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
873expb 1144 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K
) )
98adantll 460 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  <_  N  <->  ( J  -  N )  <_  K ) )
10 zre 8744 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
11 lesub 7909 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1210, 2, 3, 11syl3an 1216 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
13123expb 1144 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  ( J  -  K
)  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
1413adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  ( J  -  K )  <->  K  <_  ( J  -  M ) ) )
159, 14anbi12d 457 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  K )  <_  N  /\  M  <_  ( J  -  K )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
161, 15syl5rbbr 193 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
)  <->  ( M  <_ 
( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
17 simprr 499 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
18 zsubcl 8781 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
1918ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  N
)  e.  ZZ )
2019ad2ant2lr 494 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  N
)  e.  ZZ )
21 zsubcl 8781 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2221ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( J  -  M
)  e.  ZZ )
2322ad2ant2r 493 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  M
)  e.  ZZ )
24 elfz 9420 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( J  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( J  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( ( J  -  N ) ... ( J  -  M )
)  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_  ( J  -  M )
) ) )
2517, 20, 23, 24syl3anc 1174 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( ( J  -  N )  <_  K  /\  K  <_ 
( J  -  M
) ) ) )
26 zsubcl 8781 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  -  K
)  e.  ZZ )
2726adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  -  K
)  e.  ZZ )
28 simpll 496 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
29 simplr 497 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
30 elfz 9420 . . 3  |-  ( ( ( J  -  K
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( J  -  K
)  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  ( J  -  K
)  /\  ( J  -  K )  <_  N
) ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1174 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  <_  ( J  -  K )  /\  ( J  -  K
)  <_  N )
) )
3216, 25, 313bitr4d 218 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( J  -  N
) ... ( J  -  M ) )  <->  ( J  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   RRcr 7339    <_ cle 7513    - cmin 7643   ZZcz 8740   ...cfz 9414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-inn 8413  df-n0 8664  df-z 8741  df-fz 9415
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