Theorem fzrev2 10151

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀))))

Proof of Theorem fzrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
2		zsubcl 9358	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ))
4		fzrev 10150	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	3, 4	sylan2 286	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁)))
6		zcn 9322	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
7		zcn 9322	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
8		nncan 8248	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) = 𝐾)
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) = 𝐾)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) = 𝐾)
11	10	eleq1d 2262	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	5, 11	bitr2d 189	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   − cmin 8190  ℤcz 9317  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  fzrev2i  10152  fsumrev  11586  fprodrev  11762