Theorem fzrev2 10020

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀))))

Proof of Theorem fzrev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
2		zsubcl 9232	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 304	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ))
4		fzrev 10019	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	3, 4	sylan2 284	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁)))
6		zcn 9196	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
7		zcn 9196	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
8		nncan 8127	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) = 𝐾)
9	6, 7, 8	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) = 𝐾)
10	9	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) = 𝐾)
11	10	eleq1d 2235	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − (𝐽 − 𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	5, 11	bitr2d 188	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   − cmin 8069  ℤcz 9191  ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  fzrev2i  10021  fsumrev  11384  fprodrev  11560