ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrev2 GIF version

Theorem fzrev2 10034
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽𝐾) ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀))))

Proof of Theorem fzrev2
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
2 zsubcl 9246 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
31, 2jca 304 . . 3 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ))
4 fzrev 10033 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽 − (𝐽𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁)))
53, 4sylan2 284 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽 − (𝐽𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁)))
6 zcn 9210 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
7 zcn 9210 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
8 nncan 8141 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 − (𝐽𝐾)) = 𝐾)
96, 7, 8syl2an 287 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − (𝐽𝐾)) = 𝐾)
109adantl 275 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − (𝐽𝐾)) = 𝐾)
1110eleq1d 2239 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − (𝐽𝐾)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
125, 11bitr2d 188 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽𝐾) ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  (class class class)co 5851  cc 7765  cmin 8083  cz 9205  ...cfz 9958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-fz 9959
This theorem is referenced by:  fzrev2i  10035  fsumrev  11399  fprodrev  11575
  Copyright terms: Public domain W3C validator