Theorem ge0mulcl 10339

Description: The nonnegative reals are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ge0mulcl	|- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Proof of Theorem ge0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 10333	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
2		elrege0 10333	. 2 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
3		remulcl 8273	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )
4	3	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
5		mulge0 8913	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
6		elrege0 10333	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) )
7	4, 5, 6	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
8	1, 2, 7	syl2anb 291	1 |- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060   RRcr 8144   0cc0 8145   x. cmul 8150   +oocpnf 8323   <_ cle 8327   [,)cico 10247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-ico 10251

This theorem is referenced by:  fprodge0  12354