Theorem ghmco 14126

Description: The composition of group homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ghmco	|- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )

Proof of Theorem ghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 14115	. . 3 |- ( F e. ( T GrpHom U ) -> F e. ( T MndHom U ) )
2		ghmmhm 14115	. . 3 |- ( G e. ( S GrpHom T ) -> G e. ( S MndHom T ) )
3		mhmco 13856	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )
5		ghmgrp1 14107	. . 3 |- ( G e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
6		ghmgrp2 14108	. . 3 |- ( F e. ( T GrpHom U ) -> U e. Grp )
7		ghmmhmb 14116	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ U e. Grp ) -> ( S GrpHom U ) = ( S MndHom U ) )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. 2 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( S GrpHom U ) = ( S MndHom U ) )
9	4, 8	eleqtrrd 2318	1 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   o. ccom 4780  (class class class)co 6088   MndHom cmhm 13823   Grpcgrp 13864   GrpHom cghm 14102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-ghm 14103

This theorem is used by:  rhmco  14590