Theorem ghmgrp1 13962

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
3		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 13960	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. y e. ( Base ` S ) A. x e. ( Base ` S ) ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simplbi 274	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   Grpcgrp 13713   GrpHom cghm 13957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-inn 9238  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-ghm 13958

This theorem is referenced by:  ghmid  13966  ghminv  13967  ghmsub  13968  ghmmhm  13970  ghmmulg  13973  ghmrn  13974  resghm2  13978  resghm2b  13979  ghmco  13981  ghmpreima  13983  ghmeql  13984  ghmnsgima  13985  ghmnsgpreima  13986  ghmeqker  13988  f1ghm0to0  13989  ghmf1  13990  kerf1ghm  13991  ghmf1o  13992  ghmpropd  14000  invghm  14046