Theorem ghmgrp1 13201

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
3		eqid 2189	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2189	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 13199	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. y e. ( Base ` S ) A. x e. ( Base ` S ) ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simplbi 274	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   Grpcgrp 12960   GrpHom cghm 13196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-inn 8951  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-ghm 13197

This theorem is referenced by:  ghmid  13205  ghminv  13206  ghmsub  13207  ghmmhm  13209  ghmmulg  13212  ghmrn  13213  resghm2  13217  resghm2b  13218  ghmco  13220  ghmpreima  13222  ghmeql  13223  ghmnsgima  13224  ghmnsgpreima  13225  ghmeqker  13227  f1ghm0to0  13228  ghmf1  13229  kerf1ghm  13230  ghmf1o  13231  ghmpropd  13239