Theorem ghmgrp1 13850

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 13848	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. y e. ( Base ` S ) A. x e. ( Base ` S ) ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simplbi 274	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
7	6	simpld 112	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   Grpcgrp 13601   GrpHom cghm 13845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-ghm 13846

This theorem is referenced by:  ghmid  13854  ghminv  13855  ghmsub  13856  ghmmhm  13858  ghmmulg  13861  ghmrn  13862  resghm2  13866  resghm2b  13867  ghmco  13869  ghmpreima  13871  ghmeql  13872  ghmnsgima  13873  ghmnsgpreima  13874  ghmeqker  13876  f1ghm0to0  13877  ghmf1  13878  kerf1ghm  13879  ghmf1o  13880  ghmpropd  13888  invghm  13934