Theorem pwsinvg 14320

Description: Negation in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsinvg.b	|- B = ( Base ` Y )
pwsinvg.m	|- M = ( invg ` R )
pwsinvg.n	|- N = ( invg ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwsinvg	|- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( M o. X ) )

Proof of Theorem pwsinvg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
2		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> I e. V )
3		scaslid 13564	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
4	3	slotex 13435	. . . . 5 |- ( R e. Grp -> (Scalar ` R ) e. _V )
5	4	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
6		fconst6g 5594	. . . . 5 |- ( R e. Grp -> ( I X. { R } ) : I --> Grp )
7	6	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( I X. { R } ) : I --> Grp )
8		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
9		eqid 2238	. . . 4 |- ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
10		simp3 1030	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> X e. B )
11		pwsinvg.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` Y )
12		pwsgrp.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( R ^s I )
13		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
14	12, 13	pwsval 14309	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
15	14	3adant3 1048	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
16	15	fveq2d 5702	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
17	11, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> B = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
18	10, 17	eleqtrd 2317	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> X e. ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
19	1, 2, 5, 7, 8, 9, 18	prdsinvgd 14303	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )
20		simp1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> R e. Grp )
21		fvconst2g 5932	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
22	20, 21	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
23	22	fveq2d 5702	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) /\ x e. I ) -> ( invg ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( invg ` R ) )
24		pwsinvg.m	. . . . . 6 |- M = ( invg ` R )
25	23, 24	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) /\ x e. I ) -> ( invg ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = M )
26	25	fveq1d 5700	. . . 4 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( invg ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) ` ( X ` x ) ) = ( M ` ( X ` x ) ) )
27	26	mpteq2dva 4223	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( x e. I |-> ( ( invg ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( M ` ( X ` x ) ) ) )
28	19, 27	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) ` X ) = ( x e. I |-> ( M ` ( X ` x ) ) ) )
29		pwsinvg.n	. . . 4 |- N = ( invg ` Y )
30	15	fveq2d 5702	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( invg ` Y ) = ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
31	29, 30	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> N = ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
32	31	fveq1d 5700	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( ( invg ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) ` X ) )
33		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
34	12, 33, 11, 20, 2, 10	pwselbas 14312	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> X : I --> ( Base ` R ) )
35	34	ffvelcdmda 5846	. . 3 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) /\ x e. I ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
36	34	feqmptd 5759	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> X = ( x e. I |-> ( X ` x ) ) )
37	33, 24	grpinvf 13909	. . . . 5 |- ( R e. Grp -> M : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
38	37	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> M : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
39	38	feqmptd 5759	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> M = ( y e. ( Base ` R ) |-> ( M ` y ) ) )
40		fveq2 5698	. . 3 |- ( y = ( X ` x ) -> ( M ` y ) = ( M ` ( X ` x ) ) )
41	35, 36, 39, 40	fmptco 5877	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( M o. X ) = ( x e. I |-> ( M ` ( X ` x ) ) ) )
42	28, 32, 41	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( M o. X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   o. ccom 4780   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13408  Scalarcsca 13491   Grpcgrp 13862   invgcminusg 13863   X__scprds 14274   ^_s cpws 14307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-addcom 8284  ax-mulcom 8285  ax-addass 8286  ax-mulass 8287  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-0lt1 8290  ax-1rid 8291  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-cnre 8295  ax-pre-ltirr 8296  ax-pre-ltwlin 8297  ax-pre-lttrn 8298  ax-pre-apti 8299  ax-pre-ltadd 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6929  df-ixp 6987  df-sup 7329  df-pnf 8367  df-mnf 8368  df-xr 8369  df-ltxr 8370  df-le 8371  df-sub 8505  df-neg 8506  df-inn 9313  df-2 9371  df-3 9372  df-4 9373  df-5 9374  df-6 9375  df-7 9376  df-8 9377  df-9 9378  df-n0 9574  df-z 9653  df-dec 9787  df-uz 9936  df-fz 10427  df-struct 13410  df-ndx 13411  df-slot 13412  df-base 13414  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-ip 13506  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13652  df-topn 13653  df-0g 13669  df-topgen 13671  df-pt 13672  df-mgm 13733  df-sgrp 13774  df-mnd 13787  df-grp 13865  df-minusg 13866  df-prds 14275  df-pws 14308

This theorem is used by:  pwssub  14321