ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpinvf GIF version

Theorem grpinvf 12797
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvf (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2177 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2177 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 grpinvcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
51, 2, 3, 4grpinvfvalg 12792 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))))
61, 2, 3grpinveu 12788 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
7 riotacl 5838 . . 3 (∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
86, 7syl 14 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
95, 8fmpt3d 5667 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  ∃!wreu 2457  wf 5207  cfv 5211  crio 5823  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  0gc0g 12640  Grpcgrp 12754  invgcminusg 12755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758
This theorem is referenced by:  grpinvcl  12798  isgrpinv  12803  grpinvcnv  12814  grpinvf1o  12816  grp1inv  12853
  Copyright terms: Public domain W3C validator