Theorem pwssub 13315

Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsinvg.b	|- B = ( Base ` Y )
pwssub.m	|- M = ( -g ` R )
pwssub.n	|- .- = ( -g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
pwssub	|- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F .- G ) = ( F oF M G ) )

Proof of Theorem pwssub

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> I e. V )
2		pwsgrp.y	. . . . . 6 |- Y = ( R ^s I )
3		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4		pwsinvg.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` Y )
5		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> R e. Grp )
6		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> F e. B )
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	pwselbas 12996	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> F : I --> ( Base ` R ) )
8	7	ffvelcdmda 5700	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` R ) )
9		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
10	3, 9	grpinvf 13249	. . . . . . 7 |- ( R e. Grp -> ( invg ` R ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( invg ` R ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( invg ` R ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
13		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> G e. B )
14	2, 3, 4, 5, 1, 13	pwselbas 12996	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> G : I --> ( Base ` R ) )
15	14	ffvelcdmda 5700	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` R ) )
16	12, 15	ffvelcdmd 5701	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) e. ( Base ` R ) )
17	7	feqmptd 5617	. . . 4 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> F = ( x e. I |-> ( F ` x ) ) )
18		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( invg ` Y ) = ( invg ` Y )
19	2, 4, 9, 18	pwsinvg 13314	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V /\ G e. B ) -> ( ( invg ` Y ) ` G ) = ( ( invg ` R ) o. G ) )
20	5, 1, 13, 19	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( ( invg ` Y ) ` G ) = ( ( invg ` R ) o. G ) )
21	14	feqmptd 5617	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> G = ( x e. I |-> ( G ` x ) ) )
22	11	feqmptd 5617	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( invg ` R ) = ( y e. ( Base ` R ) |-> ( ( invg ` R ) ` y ) ) )
23		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` x ) -> ( ( invg ` R ) ` y ) = ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) )
24	15, 21, 22, 23	fmptco 5731	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( ( invg ` R ) o. G ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) ) )
25	20, 24	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( ( invg ` Y ) ` G ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) ) )
26	1, 8, 16, 17, 25	offval2 6155	. . 3 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F oF ( +g ` R ) ( ( invg ` Y ) ` G ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) ) ) )
27	2	pwsgrp 13313	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ I e. V ) -> Y e. Grp )
28	4, 18	grpinvcl 13250	. . . . 5 |- ( ( Y e. Grp /\ G e. B ) -> ( ( invg ` Y ) ` G ) e. B )
29	27, 13, 28	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( ( invg ` Y ) ` G ) e. B )
30		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
31		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
32	2, 4, 5, 1, 6, 29, 30, 31	pwsplusgval 12997	. . 3 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F ( +g ` Y ) ( ( invg ` Y ) ` G ) ) = ( F oF ( +g ` R ) ( ( invg ` Y ) ` G ) ) )
33		pwssub.m	. . . . . 6 |- M = ( -g ` R )
34	3, 30, 9, 33	grpsubval 13248	. . . . 5 |- ( ( ( F ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` x ) M ( G ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) ) )
35	8, 15, 34	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) M ( G ` x ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) ) )
36	35	mpteq2dva 4124	. . 3 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) M ( G ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` ( G ` x ) ) ) ) )
37	26, 32, 36	3eqtr4d 2239	. 2 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F ( +g ` Y ) ( ( invg ` Y ) ` G ) ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) M ( G ` x ) ) ) )
38		pwssub.n	. . . 4 |- .- = ( -g ` Y )
39	4, 31, 18, 38	grpsubval 13248	. . 3 |- ( ( F e. B /\ G e. B ) -> ( F .- G ) = ( F ( +g ` Y ) ( ( invg ` Y ) ` G ) ) )
40	39	adantl 277	. 2 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F .- G ) = ( F ( +g ` Y ) ( ( invg ` Y ) ` G ) ) )
41	1, 8, 15, 17, 21	offval2 6155	. 2 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F oF M G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) M ( G ` x ) ) ) )
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( ( R e. Grp /\ I e. V ) /\ ( F e. B /\ G e. B ) ) -> ( F .- G ) = ( F oF M G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4095   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   oFcof 6137   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   ^_s cpws 12968   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203   -gcsg 13204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805  df-rest 12943  df-topn 12944  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-prds 12969  df-pws 12992  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207

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