Theorem aprsym 14645

Description: The apartness relation given by df-apr 14639 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprsym.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprsym	|- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2		aprirr.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
4		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
5		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		aprirr.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
7		aprsym.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. B )
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 14640	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2238	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
11		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
12	10, 11	unitnegcl 14486	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
13	1, 9, 12	syl2an2r 603	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
14	1	ringgrpd 14358	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
15	6, 2	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
16	7, 2	eleqtrd 2317	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	17, 18, 11	grpinvsub 13936	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
21	20	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 14640	. . . 4 |- ( ph -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> Y # X )
27	26	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   Grpcgrp 13854   invgcminusg 13855   -gcsg 13856   Ringcrg 14349  Unitcui 14442  #_rcapr 14638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857  df-minusg 13858  df-sbg 13859  df-cmn 14138  df-abl 14139  df-mgp 14267  df-ur 14312  df-srg 14317  df-ring 14351  df-oppr 14422  df-dvdsr 14444  df-unit 14445  df-apr 14639

This theorem is used by:  aprcotr  14646  aprap  14647