Theorem aprsym 13916

Description: The apartness relation given by df-apr 13913 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprsym.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprsym	|- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2		aprirr.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
4		eqidd 2197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
5		eqidd 2197	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		aprirr.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
7		aprsym.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. B )
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 13914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2196	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
11		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
12	10, 11	unitnegcl 13762	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
13	1, 9, 12	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
14	1	ringgrpd 13637	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
15	6, 2	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
16	7, 2	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	17, 18, 11	grpinvsub 13284	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
21	20	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 13914	. . . 4 |- ( ph -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> Y # X )
27	26	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203   -gcsg 13204   Ringcrg 13628  Unitcui 13719  #_rcapr 13912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-apr 13913

This theorem is referenced by:  aprcotr  13917  aprap  13918