Theorem aprsym 14297

Description: The apartness relation given by df-apr 14294 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprsym.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprsym	|- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2		aprirr.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
4		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
5		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		aprirr.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
7		aprsym.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. B )
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 14295	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
11		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
12	10, 11	unitnegcl 14143	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
13	1, 9, 12	syl2an2r 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
14	1	ringgrpd 14017	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
15	6, 2	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
16	7, 2	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	17, 18, 11	grpinvsub 13664	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
21	20	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 14295	. . . 4 |- ( ph -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> Y # X )
27	26	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583   -gcsg 13584   Ringcrg 14008  Unitcui 14099  #_rcapr 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-tpos 6410  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-cmn 13872  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-srg 13976  df-ring 14010  df-oppr 14080  df-dvdsr 14101  df-unit 14102  df-apr 14294

This theorem is referenced by:  aprcotr  14298  aprap  14299