Theorem aprsym 14131

Description: The apartness relation given by df-apr 14128 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprsym.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprsym	|- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2		aprirr.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
4		eqidd 2207	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
5		eqidd 2207	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		aprirr.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
7		aprsym.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. B )
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 14129	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2206	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
11		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
12	10, 11	unitnegcl 13977	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
13	1, 9, 12	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
14	1	ringgrpd 13852	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
15	6, 2	eleqtrd 2285	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
16	7, 2	eleqtrd 2285	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	17, 18, 11	grpinvsub 13499	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
21	20	eleq1d 2275	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 14129	. . . 4 |- ( ph -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> Y # X )
27	26	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Basecbs 12917   Grpcgrp 13417   invgcminusg 13418   -gcsg 13419   Ringcrg 13843  Unitcui 13934  #_rcapr 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-tpos 6349  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422  df-cmn 13707  df-abl 13708  df-mgp 13768  df-ur 13807  df-srg 13811  df-ring 13845  df-oppr 13915  df-dvdsr 13936  df-unit 13937  df-apr 14128

This theorem is referenced by:  aprcotr  14132  aprap  14133