Theorem aprsym 14363

Description: The apartness relation given by df-apr 14360 for a ring is symmetric. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprirr.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
aprirr.ap	|- ( ph -> # = (#r ` R ) )
aprirr.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprirr.x	|- ( ph -> X e. B )
aprsym.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprsym	|- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Proof of Theorem aprsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprirr.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2		aprirr.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		aprirr.ap	. . . . . . 7 |- ( ph -> # = (#r ` R ) )
4		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
5		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		aprirr.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
7		aprsym.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. B )
8	2, 3, 4, 5, 1, 6, 7	aprval 14361	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X # Y <-> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) )
10		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
11		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
12	10, 11	unitnegcl 14208	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ( -g ` R ) Y ) e. (Unit ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
13	1, 9, 12	syl2an2r 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) )
14	1	ringgrpd 14082	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
15	6, 2	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` R ) )
16	7, 2	eleqtrd 2310	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
19	17, 18, 11	grpinvsub 13728	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) = ( Y ( -g ` R ) X ) )
21	20	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( X ( -g ` R ) Y ) ) e. (Unit ` R ) <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
23	13, 22	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) )
24	2, 3, 4, 5, 1, 7, 6	aprval 14361	. . . 4 |- ( ph -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> ( Y # X <-> ( Y ( -g ` R ) X ) e. (Unit ` R ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ X # Y ) -> Y # X )
27	26	ex 115	1 |- ( ph -> ( X # Y -> Y # X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   Grpcgrp 13646   invgcminusg 13647   -gcsg 13648   Ringcrg 14073  Unitcui 14164  #_rcapr 14359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651  df-cmn 13936  df-abl 13937  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-srg 14041  df-ring 14075  df-oppr 14145  df-dvdsr 14166  df-unit 14167  df-apr 14360

This theorem is referenced by:  aprcotr  14364  aprap  14365