Theorem lspsnsub 14400

Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsub.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnsub.s	|- .- = ( -g ` W )
lspsnsub.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnsub.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnsub.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsnsub.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnsub	|- ( ph -> ( N ` { ( X .- Y ) } ) = ( N ` { ( Y .- X ) } ) )

Proof of Theorem lspsnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsub.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspsnsub.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lspsnsub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lspsnsub.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		lspsnsub.s	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
6	4, 5	lmodvsubcl 14311	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) e. V )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. V )
8		eqid 2229	. . . 4 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
9		lspsnsub.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10	4, 8, 9	lspsnneg 14399	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .- Y ) e. V ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } ) = ( N ` { ( X .- Y ) } ) )
11	1, 7, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } ) = ( N ` { ( X .- Y ) } ) )
12		lmodgrp 14273	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	1, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Grp )
14	4, 5, 8	grpinvsub 13630	. . . . 5 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )
15	13, 2, 3, 14	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )
16	15	sneqd 3679	. . 3 |- ( ph -> { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } = { ( Y .- X ) } )
17	16	fveq2d 5633	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } ) = ( N ` { ( Y .- X ) } ) )
18	11, 17	eqtr3d 2264	1 |- ( ph -> ( N ` { ( X .- Y ) } ) = ( N ` { ( Y .- X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   Grpcgrp 13548   invgcminusg 13549   -gcsg 13550   LModclmod 14266   LSpanclspn 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-lsp 14366

This theorem is referenced by: (None)