Theorem lspsnsub 14569

Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsub.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnsub.s	|- .- = ( -g ` W )
lspsnsub.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnsub.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnsub.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsnsub.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnsub	|- ( ph -> ( N ` { ( X .- Y ) } ) = ( N ` { ( Y .- X ) } ) )

Proof of Theorem lspsnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsub.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspsnsub.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lspsnsub.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lspsnsub.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		lspsnsub.s	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
6	4, 5	lmodvsubcl 14480	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) e. V )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. V )
8		eqid 2232	. . . 4 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
9		lspsnsub.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
10	4, 8, 9	lspsnneg 14568	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .- Y ) e. V ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } ) = ( N ` { ( X .- Y ) } ) )
11	1, 7, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } ) = ( N ` { ( X .- Y ) } ) )
12		lmodgrp 14442	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	1, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Grp )
14	4, 5, 8	grpinvsub 13795	. . . . 5 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )
15	13, 2, 3, 14	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )
16	15	sneqd 3702	. . 3 |- ( ph -> { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } = { ( Y .- X ) } )
17	16	fveq2d 5674	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` ( X .- Y ) ) } ) = ( N ` { ( Y .- X ) } ) )
18	11, 17	eqtr3d 2267	1 |- ( ph -> ( N ` { ( X .- Y ) } ) = ( N ` { ( Y .- X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   Grpcgrp 13713   invgcminusg 13714   -gcsg 13715   LModclmod 14435   LSpanclspn 14534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437  df-lssm 14501  df-lsp 14535

This theorem is referenced by: (None)