Theorem grpsubf 13211

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	|- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13180	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
4	3	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
5		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
6	1, 5	grpcl 13140	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
7	4, 6	syld3an3 1294	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
8	7	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
9	8	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
10		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
11	10	fmpo 6259	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B )
12	9, 11	sylib 122	. 2 |- ( G e. Grp -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B )
13		grpsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
14	1, 5, 2, 13	grpsubfvalg 13177	. . 3 |- ( G e. Grp -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) )
15	14	feq1d 5394	. 2 |- ( G e. Grp -> ( .- : ( B X. B ) --> B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133   -gcsg 13134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137

This theorem is referenced by:  grpsubcl  13212  cnfldsub  14131