Theorem grpsubf 13884

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	|- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13853	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
4	3	3adant2 1047	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
5		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
6	1, 5	grpcl 13813	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
7	4, 6	syld3an3 1323	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
8	7	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
9	8	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
10		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
11	10	fmpo 6437	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B )
12	9, 11	sylib 122	. 2 |- ( G e. Grp -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B )
13		grpsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
14	1, 5, 2, 13	grpsubfvalg 13850	. . 3 |- ( G e. Grp -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) )
15	14	feq1d 5520	. 2 |- ( G e. Grp -> ( .- : ( B X. B ) --> B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   X. cxp 4772   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806   -gcsg 13807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810

This theorem is used by:  grpsubcl  13885  cnfldsub  14912