Theorem grpsubf 13496

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	|- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13465	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
4	3	3adant2 1019	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
5		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
6	1, 5	grpcl 13425	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
7	4, 6	syld3an3 1295	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
8	7	3expb 1207	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
9	8	ralrimivva 2589	. . 3 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B )
10		eqid 2206	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
11	10	fmpo 6305	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B )
12	9, 11	sylib 122	. 2 |- ( G e. Grp -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B )
13		grpsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
14	1, 5, 2, 13	grpsubfvalg 13462	. . 3 |- ( G e. Grp -> .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) )
15	14	feq1d 5427	. 2 |- ( G e. Grp -> ( .- : ( B X. B ) --> B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) : ( B X. B ) --> B ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( G e. Grp -> .- : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   X. cxp 4686   -->wf 5281   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   e. cmpo 5964   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   Grpcgrp 13417   invgcminusg 13418   -gcsg 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-inn 9067  df-2 9125  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422

This theorem is referenced by:  grpsubcl  13497  cnfldsub  14422