Theorem grpsubf 13664

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 13633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	grpcl 13593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
7	4, 6	syld3an3 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1230	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 2614	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
10		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
11	10	fmpo 6366	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
12	9, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	1, 5, 2, 13	grpsubfvalg 13630	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))))
15	14	feq1d 5469	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵))
16	12, 15	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   × cxp 4723  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ∈ cmpo 6020  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586  -_gcsg 13587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-sbg 13590

This theorem is referenced by:  grpsubcl  13665  cnfldsub  14592