Theorem grpsubf 12800

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2171	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		eqid 2171	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	grpcl 12738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
7	4, 6	syld3an3 1279	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 2553	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
10		eqid 2171	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
11	10	fmpo 6184	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
12	9, 11	sylib 121	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	1, 5, 2, 13	grpsubfvalg 12770	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))))
15	14	feq1d 5336	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵))
16	12, 15	mpbird 166	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  ∀wral 2449   × cxp 4610  ⟶wf 5196  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857   ∈ cmpo 5859  Basecbs 12420  +_gcplusg 12484  Grpcgrp 12730  inv_gcminusg 12731  -_gcsg 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1re 7872  ax-addrcl 7875

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-inn 8883  df-2 8941  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675  df-grp 12733  df-minusg 12734  df-sbg 12735

This theorem is referenced by:  grpsubcl  12801