Theorem grpsubf 13944

Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpsubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 13913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
5		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	1, 5	grpcl 13873	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
7	4, 6	syld3an3 1323	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1235	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵)
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
11	10	fmpo 6441	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
12	9, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13		grpsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	1, 5, 2, 13	grpsubfvalg 13910	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))))
15	14	feq1d 5523	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵))
16	12, 15	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   × cxp 4774  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  Grpcgrp 13865  inv_gcminusg 13866  -_gcsg 13867

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9315  df-2 9373  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870

This theorem is used by:  grpsubcl  13945  cnfldsub  15022