Theorem igsumval 13472

Description: Expand out the substitutions in df-igsum 13341. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval.g	|- ( ph -> G e. V )
gsumval.a	|- ( ph -> A e. X )
gsumval.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
igsumval	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, .0.   m, F, n, x   m, G, n, x   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, m, n)   B( x, m, n)   .+ ( m, n)   V( x, m, n)   X( x, m, n)   .0. ( m, n)

Proof of Theorem igsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumval.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsumval.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		gsumval.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		gsumval.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
6		gsumval.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
7	5, 6	fexd 5883	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
8	5	fdmd 5489	. 2 |- ( ph -> dom F = A )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	igsumvalx 13471	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   iotacio 5284   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   gsum_g cgsu 13339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-neg 8352  df-inn 9143  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-0g 13340  df-igsum 13341

This theorem is referenced by:  gsumfzval  13473  gsumress  13477  gsum0g  13478  gsumval2  13479