Theorem igsumval 13463

Description: Expand out the substitutions in df-igsum 13332. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval.g	|- ( ph -> G e. V )
gsumval.a	|- ( ph -> A e. X )
gsumval.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
igsumval	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, .0.   m, F, n, x   m, G, n, x   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, m, n)   B( x, m, n)   .+ ( m, n)   V( x, m, n)   X( x, m, n)   .0. ( m, n)

Proof of Theorem igsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumval.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsumval.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		gsumval.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		gsumval.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
6		gsumval.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
7	5, 6	fexd 5879	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
8	5	fdmd 5486	. 2 |- ( ph -> dom F = A )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	igsumvalx 13462	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   (/)c0 3492   iotacio 5282   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233   seqcseq 10699   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   0gc0g 13329   gsum_g cgsu 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-recs 6466  df-frec 6552  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-0g 13331  df-igsum 13332

This theorem is referenced by:  gsumfzval  13464  gsumress  13468  gsum0g  13469  gsumval2  13470