Theorem igsumval 12976

Description: Expand out the substitutions in df-igsum 12873. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumval.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval.g	|- ( ph -> G e. V )
gsumval.a	|- ( ph -> A e. X )
gsumval.f	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
igsumval	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, .0.   m, F, n, x   m, G, n, x   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, m, n)   B( x, m, n)   .+ ( m, n)   V( x, m, n)   X( x, m, n)   .0. ( m, n)

Proof of Theorem igsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumval.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsumval.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		gsumval.g	. 2 |- ( ph -> G e. V )
5		gsumval.f	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
6		gsumval.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
7	5, 6	fexd 5789	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
8	5	fdmd 5411	. 2 |- ( ph -> dom F = A )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	igsumvalx 12975	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( iota x ( ( A = (/) /\ x = .0. ) \/ E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( A = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   (/)c0 3447   iotacio 5214   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   seqcseq 10521   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   gsum_g cgsu 12871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-neg 8195  df-inn 8985  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-0g 12872  df-igsum 12873

This theorem is referenced by:  gsumfzval  12977  gsumress  12981  gsum0g  12982  gsumval2  12983