Theorem igsumval 13092

Description: Expand out the substitutions in df-igsum 12961. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
igsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥, 0   𝑚,𝐹,𝑛,𝑥   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑚,𝑛)   + (𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑛)   0 (𝑚,𝑛)

Proof of Theorem igsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	fexd 5795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	5	fdmd 5417	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	igsumvalx 13091	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  ∅c0 3451  ℩cio 5218  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  seqcseq 10556  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  0_gc0g 12958   Σ_g cgsu 12959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-neg 8217  df-inn 9008  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-0g 12960  df-igsum 12961

This theorem is referenced by:  gsumfzval  13093  gsumress  13097  gsum0g  13098  gsumval2  13099