Theorem igsumval 13653

Description: Expand out the substitutions in df-igsum 13556. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
igsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥, 0   𝑚,𝐹,𝑛,𝑥   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑚,𝑛)   + (𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑛)   0 (𝑚,𝑛)

Proof of Theorem igsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	fexd 5921	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	5	fdmd 5520	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	igsumvalx 13652	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  Vcvv 2815  ∅c0 3512  ℩cio 5315  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361  seqcseq 10833  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  0_gc0g 13553   Σ_g cgsu 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-neg 8463  df-inn 9255  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-0g 13555  df-igsum 13556

This theorem is referenced by:  gsumfzval  13654  gsumress  13658  gsum0g  13659  gsumval2  13660