Theorem igsumval 12973

Description: Expand out the substitutions in df-igsum 12870. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
gsumval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
igsumval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥, 0   𝑚,𝐹,𝑛,𝑥   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑚,𝑛)   + (𝑚,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑛)   0 (𝑚,𝑛)

Proof of Theorem igsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumval.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumval.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		gsumval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		gsumval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	fexd 5788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	5	fdmd 5410	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	igsumvalx 12972	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (℩𝑥((𝐴 = ∅ ∧ 𝑥 = 0 ) ∨ ∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(𝐴 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚( + , 𝐹)‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  Vcvv 2760  ∅c0 3446  ℩cio 5213  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  seqcseq 10518  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867   Σ_g cgsu 12868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-neg 8193  df-inn 8983  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-0g 12869  df-igsum 12870

This theorem is referenced by:  gsumfzval  12974  gsumress  12978  gsum0g  12979  gsumval2  12980