ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnfi GIF version

Theorem infnfi 6938
Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnfi (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6802 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantl 277 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 omex 4617 . . . . . 6 ω ∈ V
5 ordom 4631 . . . . . . 7 Ord ω
6 peano2 4619 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
76ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8 ordelss 4404 . . . . . . 7 ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
95, 7, 8sylancr 414 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10 ssdomg 6819 . . . . . 6 (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
114, 9, 10mpsyl 65 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12 domentr 6832 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝑛) → ω ≼ 𝑛)
1312ad2ant2rl 511 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14 domtr 6826 . . . . 5 ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛𝑛)
1511, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛𝑛)
16 php5dom 6906 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛𝑛)
1716ad2antrl 490 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ suc 𝑛𝑛)
1815, 17pm2.21dd 621 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
193, 18rexlimddv 2612 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
2019pm2.01da 637 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wcel 2160  wrex 2469  Vcvv 2756  wss 3149   class class class wbr 4025  Ord word 4387  suc csuc 4390  ωcom 4614  cen 6779  cdom 6780  Fincfn 6781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-er 6574  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784
This theorem is referenced by:  ominf  6939  hashennnuni  10824
  Copyright terms: Public domain W3C validator