Theorem infnfi 7199

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4740	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4754	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
6		peano2 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
7	6	ad2antrl 494	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8		ordelss 4524	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
9	5, 7, 8	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10		ssdomg 7065	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12		domentr 7078	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → ω ≼ 𝑛)
13	12	ad2ant2rl 515	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14		domtr 7072	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
15	11, 13, 14	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
16		php5dom 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
17	16	ad2antrl 494	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
18	15, 17	pm2.21dd 629	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
19	3, 18	rexlimddv 2673	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
20	19	pm2.01da 645	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  Ord word 4507  suc csuc 4510  ωcom 4737   ≈ cen 7020   ≼ cdom 7021  Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025

This theorem is used by:  ominf  7200  hashennnuni  11234