ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnfi GIF version

Theorem infnfi 6541
Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnfi (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6408 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantl 271 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 omex 4371 . . . . . 6 ω ∈ V
5 ordom 4384 . . . . . . 7 Ord ω
6 peano2 4373 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
76ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8 ordelss 4170 . . . . . . 7 ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
95, 7, 8sylancr 405 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10 ssdomg 6425 . . . . . 6 (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
114, 9, 10mpsyl 64 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12 domentr 6438 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝑛) → ω ≼ 𝑛)
1312ad2ant2rl 495 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14 domtr 6432 . . . . 5 ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛𝑛)
1511, 13, 14syl2anc 403 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛𝑛)
16 php5dom 6509 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛𝑛)
1716ad2antrl 474 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ suc 𝑛𝑛)
1815, 17pm2.21dd 583 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
193, 18rexlimddv 2487 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
2019pm2.01da 598 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wcel 1434  wrex 2354  Vcvv 2612  wss 2984   class class class wbr 3811  Ord word 4153  suc csuc 4156  ωcom 4368  cen 6385  cdom 6386  Fincfn 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390
This theorem is referenced by:  ominf  6542  hashennnuni  10022
  Copyright terms: Public domain W3C validator