Theorem infnfi 6992

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4641	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4655	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
6		peano2 4643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8		ordelss 4426	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10		ssdomg 6870	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12		domentr 6883	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → ω ≼ 𝑛)
13	12	ad2ant2rl 511	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14		domtr 6877	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
16		php5dom 6960	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
18	15, 17	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
19	3, 18	rexlimddv 2628	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
20	19	pm2.01da 637	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176  ∃wrex 2485  Vcvv 2772   ⊆ wss 3166   class class class wbr 4044  Ord word 4409  suc csuc 4412  ωcom 4638   ≈ cen 6825   ≼ cdom 6826  Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  ominf  6993  hashennnuni  10924