ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infnfi GIF version

Theorem infnfi 6539
Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
infnfi (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6406 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantl 271 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 omex 4370 . . . . . 6 ω ∈ V
5 ordom 4383 . . . . . . 7 Ord ω
6 peano2 4372 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
76ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8 ordelss 4169 . . . . . . 7 ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
95, 7, 8sylancr 405 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10 ssdomg 6423 . . . . . 6 (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
114, 9, 10mpsyl 64 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12 domentr 6436 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝑛) → ω ≼ 𝑛)
1312ad2ant2rl 495 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14 domtr 6430 . . . . 5 ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛𝑛)
1511, 13, 14syl2anc 403 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛𝑛)
16 php5dom 6507 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛𝑛)
1716ad2antrl 474 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ suc 𝑛𝑛)
1815, 17pm2.21dd 583 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
193, 18rexlimddv 2487 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
2019pm2.01da 598 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wcel 1434  wrex 2354  Vcvv 2612  wss 2984   class class class wbr 3811  Ord word 4152  suc csuc 4155  ωcom 4367  cen 6383  cdom 6384  Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387  df-fin 6388
This theorem is referenced by:  ominf  6540  hashennnuni  10020
  Copyright terms: Public domain W3C validator