Theorem infnfi 6541

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6408	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 118	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantl 271	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4371	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4384	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
6		peano2 4373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
7	6	ad2antrl 474	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8		ordelss 4170	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
9	5, 7, 8	sylancr 405	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10		ssdomg 6425	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
11	4, 9, 10	mpsyl 64	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12		domentr 6438	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → ω ≼ 𝑛)
13	12	ad2ant2rl 495	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14		domtr 6432	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
15	11, 13, 14	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
16		php5dom 6509	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
17	16	ad2antrl 474	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
18	15, 17	pm2.21dd 583	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
19	3, 18	rexlimddv 2487	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
20	19	pm2.01da 598	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354  Vcvv 2612   ⊆ wss 2984   class class class wbr 3811  Ord word 4153  suc csuc 4156  ωcom 4368   ≈ cen 6385   ≼ cdom 6386  Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390

This theorem is referenced by:  ominf  6542  hashennnuni  10022