Theorem infnfi 6956

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4629	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4643	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
6		peano2 4631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8		ordelss 4414	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10		ssdomg 6837	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12		domentr 6850	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → ω ≼ 𝑛)
13	12	ad2ant2rl 511	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14		domtr 6844	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
16		php5dom 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
18	15, 17	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
19	3, 18	rexlimddv 2619	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
20	19	pm2.01da 637	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  Ord word 4397  suc csuc 4400  ωcom 4626   ≈ cen 6797   ≼ cdom 6798  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  ominf  6957  hashennnuni  10871