Theorem infnfi 7077

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4689	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4703	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
6		peano2 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
8		ordelss 4474	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ suc 𝑛 ∈ ω) → suc 𝑛 ⊆ ω)
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ⊆ ω)
10		ssdomg 6947	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → (suc 𝑛 ⊆ ω → suc 𝑛 ≼ ω))
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ ω)
12		domentr 6960	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → ω ≼ 𝑛)
13	12	ad2ant2rl 511	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ω ≼ 𝑛)
14		domtr 6954	. . . . 5 ⊢ ((suc 𝑛 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝑛) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ≼ 𝑛)
16		php5dom 7044	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
17	16	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ suc 𝑛 ≼ 𝑛)
18	15, 17	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
19	3, 18	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
20	19	pm2.01da 639	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  Ord word 4457  suc csuc 4460  ωcom 4686   ≈ cen 6902   ≼ cdom 6903  Fincfn 6904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907

This theorem is referenced by:  ominf  7078  hashennnuni  11031