Theorem diffifi 6991

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1001	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
2		simp1 1000	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
3		simp3 1002	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4		sseq1 3216	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) ) )
6		difeq2 3285	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
7	6	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin ) )
8	5, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin ) ) )
9		sseq1 3216	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ y C_ A ) ) )
11		difeq2 3285	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A \ w ) = ( A \ y ) )
12	11	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) )
14		sseq1 3216	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
16		difeq2 3285	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( y u. { z } ) ) )
17	16	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
18	15, 17	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
19		sseq1 3216	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ A <-> B C_ A ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) )
21		difeq2 3285	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
22	21	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ B ) e. Fin ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) ) )
24		dif0 3531	. . . . . . 7 |- ( A \ (/) ) = A
25	24	eleq1i 2271	. . . . . 6 |- ( ( A \ (/) ) e. Fin <-> A e. Fin )
26	25	biimpri 133	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( A \ (/) ) e. Fin )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin )
28		difun1 3433	. . . . . 6 |- ( A \ ( y u. { z } ) ) = ( ( A \ y ) \ { z } )
29		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> A e. Fin )
30		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
31	30	unssad 3350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
32		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) )
33	29, 31, 32	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ y ) e. Fin )
34		vsnid 3665	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
36	35	unssbd 3351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
37	36	sseld 3192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( z e. { z } -> z e. A ) )
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
39	38	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
40		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
41	39, 40	eldifd 3176	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
42		diffisn 6990	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
43	33, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
44	28, 43	eqeltrid 2292	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin )
45	44	exp31 364	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) -> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6987	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) )
47	46	imp 124	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) -> ( A \ B ) e. Fin )
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1248	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   \ cdif 3163   u. cun 3164   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  unfiin  7023  fihashssdif  10963  hashdifpr  10965  fsumlessfi  11771  hash2iun1dif1  11791