ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffifi Unicode version

Theorem diffifi 6852
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 987 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
2 simp1 986 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
3 simp3 988 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
4 sseq1 3161 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A
) ) )
6 difeq2 3230 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A 
\  w )  =  ( A  \  (/) ) )
76eleq1d 2233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  \  w )  e.  Fin  <->  ( A  \  (/) )  e.  Fin ) )
85, 7imbi12d 233 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  ->  ( A  \  w
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A )  -> 
( A  \  (/) )  e. 
Fin ) ) )
9 sseq1 3161 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
109anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  y  C_  A ) ) )
11 difeq2 3230 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  y
) )
1211eleq1d 2233 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
1310, 12imbi12d 233 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  w  C_  A
)  ->  ( A  \  w )  e.  Fin ) 
<->  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) ) )
14 sseq1 3161 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1514anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
) )
16 difeq2 3230 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  ( y  u.  { z } ) ) )
1716eleq1d 2233 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A 
\  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
1815, 17imbi12d 233 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  -> 
( A  \  w
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( A  \  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  Fin )
) )
19 sseq1 3161 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  A  <->  B  C_  A
) )
2019anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A ) ) )
21 difeq2 3230 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  B
) )
2221eleq1d 2233 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  <->  ( A  \  B )  e.  Fin ) )
2320, 22imbi12d 233 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  w  C_  A
)  ->  ( A  \  w )  e.  Fin ) 
<->  ( ( A  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  ( A  \  B )  e.  Fin ) ) )
24 dif0 3475 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2524eleq1i 2230 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  (/) )  e. 
Fin 
<->  A  e.  Fin )
2625biimpri 132 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  (/) )  e.  Fin )
2726adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A )  ->  ( A  \  (/) )  e.  Fin )
28 difun1 3378 . . . . . 6  |-  ( A 
\  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( ( A  \  y ) 
\  { z } )
29 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  A  e.  Fin )
30 simprr 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
3130unssad 3295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  y  C_  A )
32 simplr 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )
3329, 31, 32mp2and 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( A  \  y )  e.  Fin )
34 vsnid 3603 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
{ z }
35 simprr 522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
3635unssbd 3296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
3736sseld 3137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( z  e.  {
z }  ->  z  e.  A ) )
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
3938adantllr 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
40 simpllr 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
4139, 40eldifd 3122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
42 diffisn 6851 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  ( A  \  y ) )  -> 
( ( A  \ 
y )  \  {
z } )  e. 
Fin )
4333, 41, 42syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( A  \  y )  \  { z } )  e.  Fin )
4428, 43eqeltrid 2251 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( A  \  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
4544exp31 362 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( A  \  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) ) )
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6848 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B
)  e.  Fin )
)
4746imp 123 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )
)  ->  ( A  \  B )  e.  Fin )
481, 2, 3, 47syl12anc 1225 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 967    = wceq 1342    e. wcel 2135    \ cdif 3109    u. cun 3110    C_ wss 3112   (/)c0 3405   {csn 3571   Fincfn 6698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-er 6493  df-en 6699  df-fin 6701
This theorem is referenced by:  unfiin  6883  fihashssdif  10721  hashdifpr  10723  fsumlessfi  11391  hash2iun1dif1  11411
  Copyright terms: Public domain W3C validator