Theorem diffifi 6888

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
2		simp1 997	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
3		simp3 999	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) ) )
6		difeq2 3247	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
7	6	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin ) )
8	5, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin ) ) )
9		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ y C_ A ) ) )
11		difeq2 3247	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A \ w ) = ( A \ y ) )
12	11	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) )
14		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
16		difeq2 3247	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( y u. { z } ) ) )
17	16	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
18	15, 17	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
19		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ A <-> B C_ A ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) )
21		difeq2 3247	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
22	21	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ B ) e. Fin ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) ) )
24		dif0 3493	. . . . . . 7 |- ( A \ (/) ) = A
25	24	eleq1i 2243	. . . . . 6 |- ( ( A \ (/) ) e. Fin <-> A e. Fin )
26	25	biimpri 133	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( A \ (/) ) e. Fin )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin )
28		difun1 3395	. . . . . 6 |- ( A \ ( y u. { z } ) ) = ( ( A \ y ) \ { z } )
29		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> A e. Fin )
30		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
31	30	unssad 3312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
32		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) )
33	29, 31, 32	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ y ) e. Fin )
34		vsnid 3623	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
36	35	unssbd 3313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
37	36	sseld 3154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( z e. { z } -> z e. A ) )
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
39	38	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
40		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
41	39, 40	eldifd 3139	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
42		diffisn 6887	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
43	33, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
44	28, 43	eqeltrid 2264	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin )
45	44	exp31 364	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) -> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6884	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) )
47	46	imp 124	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) -> ( A \ B ) e. Fin )
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1236	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3126   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   Fincfn 6734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737

This theorem is referenced by:  unfiin  6919  fihashssdif  10782  hashdifpr  10784  fsumlessfi  11452  hash2iun1dif1  11472