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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > diffifi | Unicode version |
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
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diffifi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp2 1000 |
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2 | simp1 999 |
. 2
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3 | simp3 1001 |
. 2
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4 | sseq1 3198 |
. . . . . 6
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5 | 4 | anbi2d 464 |
. . . . 5
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6 | difeq2 3267 |
. . . . . 6
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7 | 6 | eleq1d 2258 |
. . . . 5
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8 | 5, 7 | imbi12d 234 |
. . . 4
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9 | sseq1 3198 |
. . . . . 6
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10 | 9 | anbi2d 464 |
. . . . 5
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11 | difeq2 3267 |
. . . . . 6
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12 | 11 | eleq1d 2258 |
. . . . 5
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13 | 10, 12 | imbi12d 234 |
. . . 4
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14 | sseq1 3198 |
. . . . . 6
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15 | 14 | anbi2d 464 |
. . . . 5
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16 | difeq2 3267 |
. . . . . 6
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17 | 16 | eleq1d 2258 |
. . . . 5
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18 | 15, 17 | imbi12d 234 |
. . . 4
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19 | sseq1 3198 |
. . . . . 6
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20 | 19 | anbi2d 464 |
. . . . 5
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21 | difeq2 3267 |
. . . . . 6
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22 | 21 | eleq1d 2258 |
. . . . 5
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23 | 20, 22 | imbi12d 234 |
. . . 4
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24 | dif0 3513 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | eleq1i 2255 |
. . . . . 6
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26 | 25 | biimpri 133 |
. . . . 5
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27 | 26 | adantr 276 |
. . . 4
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28 | difun1 3415 |
. . . . . 6
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29 | simprl 529 |
. . . . . . . 8
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30 | simprr 531 |
. . . . . . . . 9
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31 | 30 | unssad 3332 |
. . . . . . . 8
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32 | simplr 528 |
. . . . . . . 8
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33 | 29, 31, 32 | mp2and 433 |
. . . . . . 7
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34 | vsnid 3646 |
. . . . . . . . . 10
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35 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | unssbd 3333 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | sseld 3174 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 34, 37 | mpi 15 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | adantllr 481 |
. . . . . . . 8
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40 | simpllr 534 |
. . . . . . . 8
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41 | 39, 40 | eldifd 3159 |
. . . . . . 7
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42 | diffisn 6936 |
. . . . . . 7
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43 | 33, 41, 42 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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44 | 28, 43 | eqeltrid 2276 |
. . . . 5
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45 | 44 | exp31 364 |
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46 | 8, 13, 18, 23, 27, 45 | findcard2s 6933 |
. . 3
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47 | 46 | imp 124 |
. 2
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48 | 1, 2, 3, 47 | syl12anc 1247 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4140 ax-sep 4143 ax-nul 4151 ax-pow 4199 ax-pr 4234 ax-un 4458 ax-setind 4561 ax-iinf 4612 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2758 df-sbc 2982 df-csb 3077 df-dif 3151 df-un 3153 df-in 3155 df-ss 3162 df-nul 3443 df-if 3554 df-pw 3599 df-sn 3620 df-pr 3621 df-op 3623 df-uni 3832 df-int 3867 df-iun 3910 df-br 4026 df-opab 4087 df-mpt 4088 df-tr 4124 df-id 4318 df-iord 4391 df-on 4393 df-suc 4396 df-iom 4615 df-xp 4657 df-rel 4658 df-cnv 4659 df-co 4660 df-dm 4661 df-rn 4662 df-res 4663 df-ima 4664 df-iota 5203 df-fun 5244 df-fn 5245 df-f 5246 df-f1 5247 df-fo 5248 df-f1o 5249 df-fv 5250 df-er 6574 df-en 6782 df-fin 6784 |
This theorem is referenced by: unfiin 6969 fihashssdif 10863 hashdifpr 10865 fsumlessfi 11577 hash2iun1dif1 11597 |
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