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Theorem diffifi 6926
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1000 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
2 simp1 999 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
3 simp3 1001 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
4 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 464 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A
) ) )
6 difeq2 3262 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A 
\  w )  =  ( A  \  (/) ) )
76eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  \  w )  e.  Fin  <->  ( A  \  (/) )  e.  Fin ) )
85, 7imbi12d 234 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  ->  ( A  \  w
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A )  -> 
( A  \  (/) )  e. 
Fin ) ) )
9 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
109anbi2d 464 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  y  C_  A ) ) )
11 difeq2 3262 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  y
) )
1211eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
1310, 12imbi12d 234 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  w  C_  A
)  ->  ( A  \  w )  e.  Fin ) 
<->  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) ) )
14 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1514anbi2d 464 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
) )
16 difeq2 3262 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  ( y  u.  { z } ) ) )
1716eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A 
\  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
1815, 17imbi12d 234 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  -> 
( A  \  w
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( A  \  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  Fin )
) )
19 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  A  <->  B  C_  A
) )
2019anbi2d 464 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A ) ) )
21 difeq2 3262 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  B
) )
2221eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  <->  ( A  \  B )  e.  Fin ) )
2320, 22imbi12d 234 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  w  C_  A
)  ->  ( A  \  w )  e.  Fin ) 
<->  ( ( A  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  ( A  \  B )  e.  Fin ) ) )
24 dif0 3508 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2524eleq1i 2255 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  (/) )  e. 
Fin 
<->  A  e.  Fin )
2625biimpri 133 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  (/) )  e.  Fin )
2726adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A )  ->  ( A  \  (/) )  e.  Fin )
28 difun1 3410 . . . . . 6  |-  ( A 
\  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( ( A  \  y ) 
\  { z } )
29 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  A  e.  Fin )
30 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
3130unssad 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  y  C_  A )
32 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )
3329, 31, 32mp2and 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( A  \  y )  e.  Fin )
34 vsnid 3642 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
{ z }
35 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
3635unssbd 3328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
3736sseld 3169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( z  e.  {
z }  ->  z  e.  A ) )
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
3938adantllr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
40 simpllr 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
4139, 40eldifd 3154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
42 diffisn 6925 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  ( A  \  y ) )  -> 
( ( A  \ 
y )  \  {
z } )  e. 
Fin )
4333, 41, 42syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( A  \  y )  \  { z } )  e.  Fin )
4428, 43eqeltrid 2276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( A  \  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
4544exp31 364 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( A  \  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) ) )
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6922 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B
)  e.  Fin )
)
4746imp 124 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )
)  ->  ( A  \  B )  e.  Fin )
481, 2, 3, 47syl12anc 1247 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    \ cdif 3141    u. cun 3142    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3610   Fincfn 6770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-er 6563  df-en 6771  df-fin 6773
This theorem is referenced by:  unfiin  6958  fihashssdif  10839  hashdifpr  10841  fsumlessfi  11509  hash2iun1dif1  11529
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