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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > diffifi | Unicode version |
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
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diffifi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp2 945 |
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2 | simp1 944 |
. 2
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3 | simp3 946 |
. 2
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4 | sseq1 3048 |
. . . . . 6
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5 | 4 | anbi2d 453 |
. . . . 5
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6 | difeq2 3113 |
. . . . . 6
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7 | 6 | eleq1d 2157 |
. . . . 5
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8 | 5, 7 | imbi12d 233 |
. . . 4
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9 | sseq1 3048 |
. . . . . 6
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10 | 9 | anbi2d 453 |
. . . . 5
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11 | difeq2 3113 |
. . . . . 6
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12 | 11 | eleq1d 2157 |
. . . . 5
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13 | 10, 12 | imbi12d 233 |
. . . 4
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14 | sseq1 3048 |
. . . . . 6
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15 | 14 | anbi2d 453 |
. . . . 5
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16 | difeq2 3113 |
. . . . . 6
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17 | 16 | eleq1d 2157 |
. . . . 5
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18 | 15, 17 | imbi12d 233 |
. . . 4
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19 | sseq1 3048 |
. . . . . 6
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20 | 19 | anbi2d 453 |
. . . . 5
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21 | difeq2 3113 |
. . . . . 6
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22 | 21 | eleq1d 2157 |
. . . . 5
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23 | 20, 22 | imbi12d 233 |
. . . 4
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24 | dif0 3357 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | eleq1i 2154 |
. . . . . 6
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26 | 25 | biimpri 132 |
. . . . 5
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27 | 26 | adantr 271 |
. . . 4
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28 | difun1 3260 |
. . . . . 6
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29 | simprl 499 |
. . . . . . . 8
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30 | simprr 500 |
. . . . . . . . 9
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31 | 30 | unssad 3178 |
. . . . . . . 8
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32 | simplr 498 |
. . . . . . . 8
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33 | 29, 31, 32 | mp2and 425 |
. . . . . . 7
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34 | vsnid 3480 |
. . . . . . . . . 10
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35 | simprr 500 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | unssbd 3179 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | sseld 3025 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 34, 37 | mpi 15 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | adantllr 466 |
. . . . . . . 8
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40 | simpllr 502 |
. . . . . . . 8
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41 | 39, 40 | eldifd 3010 |
. . . . . . 7
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42 | diffisn 6663 |
. . . . . . 7
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43 | 33, 41, 42 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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44 | 28, 43 | syl5eqel 2175 |
. . . . 5
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45 | 44 | exp31 357 |
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46 | 8, 13, 18, 23, 27, 45 | findcard2s 6660 |
. . 3
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47 | 46 | imp 123 |
. 2
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48 | 1, 2, 3, 47 | syl12anc 1173 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-iord 4202 df-on 4204 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-er 6306 df-en 6512 df-fin 6514 |
This theorem is referenced by: unfiin 6690 fihashssdif 10287 hashdifpr 10289 fsumlessfi 10915 hash2iun1dif1 10935 |
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