Theorem diffifi 6950

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
2		simp1 999	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
3		simp3 1001	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) ) )
6		difeq2 3271	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
7	6	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin ) )
8	5, 7	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin ) ) )
9		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ y C_ A ) ) )
11		difeq2 3271	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A \ w ) = ( A \ y ) )
12	11	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) )
14		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
16		difeq2 3271	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( y u. { z } ) ) )
17	16	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
18	15, 17	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
19		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ A <-> B C_ A ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) )
21		difeq2 3271	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
22	21	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ B ) e. Fin ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) ) )
24		dif0 3517	. . . . . . 7 |- ( A \ (/) ) = A
25	24	eleq1i 2259	. . . . . 6 |- ( ( A \ (/) ) e. Fin <-> A e. Fin )
26	25	biimpri 133	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( A \ (/) ) e. Fin )
27	26	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin )
28		difun1 3419	. . . . . 6 |- ( A \ ( y u. { z } ) ) = ( ( A \ y ) \ { z } )
29		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> A e. Fin )
30		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
31	30	unssad 3336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
32		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) )
33	29, 31, 32	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ y ) e. Fin )
34		vsnid 3650	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
36	35	unssbd 3337	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
37	36	sseld 3178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( z e. { z } -> z e. A ) )
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
39	38	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
40		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
41	39, 40	eldifd 3163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
42		diffisn 6949	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
43	33, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
44	28, 43	eqeltrid 2280	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin )
45	44	exp31 364	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) -> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6946	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) )
47	46	imp 124	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) -> ( A \ B ) e. Fin )
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1247	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  unfiin  6982  fihashssdif  10889  hashdifpr  10891  fsumlessfi  11603  hash2iun1dif1  11623