Theorem diffifi 6860

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 988	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
2		simp1 987	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
3		simp3 989	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) ) )
6		difeq2 3234	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
7	6	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin ) )
8	5, 7	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin ) ) )
9		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10	9	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ y C_ A ) ) )
11		difeq2 3234	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A \ w ) = ( A \ y ) )
12	11	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
13	10, 12	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) )
14		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
15	14	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
16		difeq2 3234	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( y u. { z } ) ) )
17	16	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
18	15, 17	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
19		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ A <-> B C_ A ) )
20	19	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) )
21		difeq2 3234	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
22	21	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ B ) e. Fin ) )
23	20, 22	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) ) )
24		dif0 3479	. . . . . . 7 |- ( A \ (/) ) = A
25	24	eleq1i 2232	. . . . . 6 |- ( ( A \ (/) ) e. Fin <-> A e. Fin )
26	25	biimpri 132	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( A \ (/) ) e. Fin )
27	26	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin )
28		difun1 3382	. . . . . 6 |- ( A \ ( y u. { z } ) ) = ( ( A \ y ) \ { z } )
29		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> A e. Fin )
30		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
31	30	unssad 3299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
32		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) )
33	29, 31, 32	mp2and 430	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ y ) e. Fin )
34		vsnid 3608	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
35		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
36	35	unssbd 3300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
37	36	sseld 3141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( z e. { z } -> z e. A ) )
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
39	38	adantllr 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
40		simpllr 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
41	39, 40	eldifd 3126	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
42		diffisn 6859	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
43	33, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
44	28, 43	eqeltrid 2253	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin )
45	44	exp31 362	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) -> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6856	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) )
47	46	imp 123	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) -> ( A \ B ) e. Fin )
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1226	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  unfiin  6891  fihashssdif  10731  hashdifpr  10733  fsumlessfi  11401  hash2iun1dif1  11421