Theorem diffifi 6788

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
2		simp1 981	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A e. Fin )
3		simp3 983	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4		sseq1 3120	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
5	4	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) ) )
6		difeq2 3188	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
7	6	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin ) )
8	5, 7	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin ) ) )
9		sseq1 3120	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10	9	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ y C_ A ) ) )
11		difeq2 3188	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A \ w ) = ( A \ y ) )
12	11	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
13	10, 12	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) )
14		sseq1 3120	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
15	14	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) )
16		difeq2 3188	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( y u. { z } ) ) )
17	16	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
18	15, 17	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
19		sseq1 3120	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ A <-> B C_ A ) )
20	19	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) <-> ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) )
21		difeq2 3188	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
22	21	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A \ w ) e. Fin <-> ( A \ B ) e. Fin ) )
23	20, 22	imbi12d 233	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ( A e. Fin /\ w C_ A ) -> ( A \ w ) e. Fin ) <-> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) ) )
24		dif0 3433	. . . . . . 7 |- ( A \ (/) ) = A
25	24	eleq1i 2205	. . . . . 6 |- ( ( A \ (/) ) e. Fin <-> A e. Fin )
26	25	biimpri 132	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( A \ (/) ) e. Fin )
27	26	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) C_ A ) -> ( A \ (/) ) e. Fin )
28		difun1 3336	. . . . . 6 |- ( A \ ( y u. { z } ) ) = ( ( A \ y ) \ { z } )
29		simprl 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> A e. Fin )
30		simprr 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
31	30	unssad 3253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> y C_ A )
32		simplr 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) )
33	29, 31, 32	mp2and 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ y ) e. Fin )
34		vsnid 3557	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
35		simprr 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
36	35	unssbd 3254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
37	36	sseld 3096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( z e. { z } -> z e. A ) )
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
39	38	adantllr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
40		simpllr 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
41	39, 40	eldifd 3081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. ( A \ y ) )
42		diffisn 6787	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
43	33, 41, 42	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( A \ y ) \ { z } ) e. Fin )
44	28, 43	eqeltrid 2226	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) ) /\ ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin )
45	44	exp31 361	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> ( A \ y ) e. Fin ) -> ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( A \ ( y u. { z } ) ) e. Fin ) ) )
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6784	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin ) )
47	46	imp 123	. 2 |- ( ( B e. Fin /\ ( A e. Fin /\ B C_ A ) ) -> ( A \ B ) e. Fin )
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1214	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( A \ B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   \ cdif 3068   u. cun 3069   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  unfiin  6814  fihashssdif  10564  hashdifpr  10566  fsumlessfi  11229  hash2iun1dif1  11249