Theorem ismndd 13600

Description: Deduce a monoid from its properties. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismndd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
ismndd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ismndd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
ismndd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
ismndd.z	|- ( ph -> .0. e. B )
ismndd.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
ismndd.j	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )

Assertion

Ref	Expression
ismndd	|- ( ph -> G e. Mnd )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .0.

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   .0. ( y, z)

Proof of Theorem ismndd

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismndd.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2	1	3expb 1231	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
3		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ph )
4		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> x e. B )
5		simplrr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> y e. B )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. B )
7		ismndd.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
9	8	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10	2, 9	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
11	10	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
12		ismndd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
13		ismndd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
14	13	oveqd 6045	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
15	14, 12	eleq12d 2302	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) e. B <-> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
16		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> z = z )
17	13, 14, 16	oveq123d 6049	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) )
18		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> x = x )
19	13	oveqd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
20	13, 18, 19	oveq123d 6049	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
21	17, 20	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
22	12, 21	raleqbidv 2747	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
23	15, 22	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
24	12, 23	raleqbidv 2747	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
25	12, 24	raleqbidv 2747	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
26	11, 25	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
27		ismndd.z	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
28	27, 12	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` G ) )
29	12	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` G ) ) )
30	29	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> x e. B )
31	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .+ = ( +g ` G ) )
32	31	oveqd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( .0. ( +g ` G ) x ) )
33		ismndd.i	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
34	32, 33	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) x ) = x )
35	31	oveqd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( x ( +g ` G ) .0. ) )
36		ismndd.j	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
37	35, 36	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) .0. ) = x )
38	34, 37	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
39	30, 38	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
40	39	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
41		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( u = .0. -> ( u ( +g ` G ) x ) = ( .0. ( +g ` G ) x ) )
42	41	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( u = .0. -> ( ( u ( +g ` G ) x ) = x <-> ( .0. ( +g ` G ) x ) = x ) )
43	42	ovanraleqv 6052	. . . 4 |- ( u = .0. -> ( A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) <-> A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) ) )
44	43	rspcev 2911	. . 3 |- ( ( .0. e. ( Base ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) ) -> E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) )
45	28, 40, 44	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) )
46		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
47		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48	46, 47	ismnd 13582	. 2 |- ( G e. Mnd <-> ( A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) /\ E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) ) )
49	26, 45, 48	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   Mndcmnd 13579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580

This theorem is referenced by:  issubmnd  13605  prdsmndd  13611  imasmnd2  13615  isgrpde  13685  isringd  14135  iscrngd  14136