Theorem ismndd 13519

Description: Deduce a monoid from its properties. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismndd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
ismndd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ismndd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
ismndd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
ismndd.z	|- ( ph -> .0. e. B )
ismndd.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
ismndd.j	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )

Assertion

Ref	Expression
ismndd	|- ( ph -> G e. Mnd )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .0.

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   .0. ( y, z)

Proof of Theorem ismndd

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismndd.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2	1	3expb 1230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
3		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ph )
4		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> x e. B )
5		simplrr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> y e. B )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. B )
7		ismndd.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
9	8	ralrimiva 2605	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10	2, 9	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
11	10	ralrimivva 2614	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
12		ismndd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
13		ismndd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
14	13	oveqd 6034	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
15	14, 12	eleq12d 2302	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) e. B <-> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
16		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> z = z )
17	13, 14, 16	oveq123d 6038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) )
18		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> x = x )
19	13	oveqd 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
20	13, 18, 19	oveq123d 6038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
21	17, 20	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
22	12, 21	raleqbidv 2746	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
23	15, 22	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
24	12, 23	raleqbidv 2746	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
25	12, 24	raleqbidv 2746	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
26	11, 25	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
27		ismndd.z	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
28	27, 12	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` G ) )
29	12	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` G ) ) )
30	29	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> x e. B )
31	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .+ = ( +g ` G ) )
32	31	oveqd 6034	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( .0. ( +g ` G ) x ) )
33		ismndd.i	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
34	32, 33	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) x ) = x )
35	31	oveqd 6034	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( x ( +g ` G ) .0. ) )
36		ismndd.j	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
37	35, 36	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) .0. ) = x )
38	34, 37	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
39	30, 38	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
40	39	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
41		oveq1 6024	. . . . . 6 |- ( u = .0. -> ( u ( +g ` G ) x ) = ( .0. ( +g ` G ) x ) )
42	41	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( u = .0. -> ( ( u ( +g ` G ) x ) = x <-> ( .0. ( +g ` G ) x ) = x ) )
43	42	ovanraleqv 6041	. . . 4 |- ( u = .0. -> ( A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) <-> A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) ) )
44	43	rspcev 2910	. . 3 |- ( ( .0. e. ( Base ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) ) -> E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) )
45	28, 40, 44	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) )
46		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
47		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48	46, 47	ismnd 13501	. 2 |- ( G e. Mnd <-> ( A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) /\ E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) ) )
49	26, 45, 48	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   Mndcmnd 13498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499

This theorem is referenced by:  issubmnd  13524  prdsmndd  13530  imasmnd2  13534  isgrpde  13604  isringd  14053  iscrngd  14054