Theorem ismndd 13139

Description: Deduce a monoid from its properties. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismndd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
ismndd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ismndd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
ismndd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
ismndd.z	|- ( ph -> .0. e. B )
ismndd.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
ismndd.j	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )

Assertion

Ref	Expression
ismndd	|- ( ph -> G e. Mnd )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .0.

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   .0. ( y, z)

Proof of Theorem ismndd

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismndd.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2	1	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
3		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ph )
4		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> x e. B )
5		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> y e. B )
6		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. B )
7		ismndd.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
9	8	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
10	2, 9	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
11	10	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
12		ismndd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
13		ismndd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
14	13	oveqd 5942	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
15	14, 12	eleq12d 2267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) e. B <-> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
16		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> z = z )
17	13, 14, 16	oveq123d 5946	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) )
18		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> x = x )
19	13	oveqd 5942	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
20	13, 18, 19	oveq123d 5946	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
21	17, 20	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
22	12, 21	raleqbidv 2709	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
23	15, 22	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
24	12, 23	raleqbidv 2709	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
25	12, 24	raleqbidv 2709	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
26	11, 25	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
27		ismndd.z	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
28	27, 12	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` G ) )
29	12	eleq2d 2266	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` G ) ) )
30	29	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> x e. B )
31	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .+ = ( +g ` G ) )
32	31	oveqd 5942	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( .0. ( +g ` G ) x ) )
33		ismndd.i	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
34	32, 33	eqtr3d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) x ) = x )
35	31	oveqd 5942	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( x ( +g ` G ) .0. ) )
36		ismndd.j	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
37	35, 36	eqtr3d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` G ) .0. ) = x )
38	34, 37	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
39	30, 38	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
40	39	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) )
41		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( u = .0. -> ( u ( +g ` G ) x ) = ( .0. ( +g ` G ) x ) )
42	41	eqeq1d 2205	. . . . 5 |- ( u = .0. -> ( ( u ( +g ` G ) x ) = x <-> ( .0. ( +g ` G ) x ) = x ) )
43	42	ovanraleqv 5949	. . . 4 |- ( u = .0. -> ( A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) <-> A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) ) )
44	43	rspcev 2868	. . 3 |- ( ( .0. e. ( Base ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) ( ( .0. ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) .0. ) = x ) ) -> E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) )
45	28, 40, 44	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) )
46		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
47		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48	46, 47	ismnd 13121	. 2 |- ( G e. Mnd <-> ( A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) /\ E. u e. ( Base ` G ) A. x e. ( Base ` G ) ( ( u ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) u ) = x ) ) )
49	26, 45, 48	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   Mndcmnd 13118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119

This theorem is referenced by:  issubmnd  13144  prdsmndd  13150  imasmnd2  13154  isgrpde  13224  isringd  13673  iscrngd  13674