Theorem isringd 13999

Description: Properties that determine a ring. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
isringd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
isringd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
isringd.g	|- ( ph -> R e. Grp )
isringd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
isringd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
isringd.d	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
isringd.e	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
isringd.u	|- ( ph -> .1. e. B )
isringd.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .1. .x. x ) = x )
isringd.h	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .x. .1. ) = x )

Assertion

Ref	Expression
isringd	|- ( ph -> R e. Ring )

Distinct variable groups:   x, .1.   x, y, z, B   ph, x, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   .x. ( x, y, z)   .1. ( y, z)

Proof of Theorem isringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isringd.g	. 2 |- ( ph -> R e. Grp )
2		isringd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		eqid 2229	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 13884	. . . . 5 |- ( R e. Grp -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	2, 6	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
8		isringd.t	. . . 4 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
9		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
10	3, 9	mgpplusgg 13882	. . . . 5 |- ( R e. Grp -> ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
11	1, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
13		isringd.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
14		isringd.a	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
15		isringd.u	. . 3 |- ( ph -> .1. e. B )
16		isringd.i	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .1. .x. x ) = x )
17		isringd.h	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .x. .1. ) = x )
18	7, 12, 13, 14, 15, 16, 17	ismndd 13465	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
19	2	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` R ) ) )
20	2	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` R ) ) )
21	2	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( Base ` R ) ) )
22	19, 20, 21	3anbi123d 1346	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) )
23	22	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) )
24		isringd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
25	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
26		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> x = x )
27		isringd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
28	27	oveqdr 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` R ) z ) )
29	25, 26, 28	oveq123d 6021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) )
30	27	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
31	8	oveqdr 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` R ) y ) )
32	8	oveqdr 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. z ) = ( x ( .r ` R ) z ) )
33	30, 31, 32	oveq123d 6021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) )
34	24, 29, 33	3eqtr3d 2270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) )
35		isringd.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
36	27	oveqdr 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
37		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z = z )
38	25, 36, 37	oveq123d 6021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) )
39	8	oveqdr 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .x. z ) = ( y ( .r ` R ) z ) )
40	30, 32, 39	oveq123d 6021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
41	35, 38, 40	3eqtr3d 2270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
42	34, 41	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
43	23, 42	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
44	43	ralrimivvva 2613	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
45		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
46	4, 3, 45, 9	isring 13958	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
47	1, 18, 44, 46	syl3anbrc 1205	1 |- ( ph -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   .rcmulr 13106   Mndcmnd 13444   Grpcgrp 13528  mulGrpcmgp 13878   Ringcrg 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-mgp 13879  df-ring 13956

This theorem is referenced by:  iscrngd  14000  ringressid  14021  imasring  14022  opprring  14037  issubrg2  14199