Theorem le0neg1 8099

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
le0neg1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))

Proof of Theorem le0neg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7638	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leneg 8094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ -0 ≤ -𝐴))
3	1, 2	mpan2 419	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ -0 ≤ -𝐴))
4		neg0 7879	. . 3 ⊢ -0 = 0
5	4	breq1i 3882	. 2 ⊢ (-0 ≤ -𝐴 ↔ 0 ≤ -𝐴)
6	3, 5	syl6bb 195	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ℝcr 7499  0cc0 7500   ≤ cle 7673  -cneg 7805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807

This theorem is referenced by:  le0neg1d  8146  absnid  10685