Theorem zzlesq 10723

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzlesq	|- ( N e. ZZ -> N <_ ( N ^ 2 ) )

Proof of Theorem zzlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn 9300	. . 3 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
2		animorrl 827	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN ) -> ( N e. NN \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) ) )
3		olc 712	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( N e. NN \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) ) )
4	2, 3	jaodan 798	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) -> ( N e. NN \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) ) )
5	1, 4	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( N e. NN \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) ) )
6		nnlesq 10658	. . 3 |- ( N e. NN -> N <_ ( N ^ 2 ) )
7		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N e. RR )
8		0red 7989	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
9	7	resqcld 10714	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( N ^ 2 ) e. RR )
10		nn0ge0 9232	. . . . 5 |- ( -u N e. NN0 -> 0 <_ -u N )
11		le0neg1 8458	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
12	11	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 0 <_ -u N ) -> N <_ 0 )
13	10, 12	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N <_ 0 )
14	7	sqge0d 10715	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 0 <_ ( N ^ 2 ) )
15	7, 8, 9, 13, 14	letrd 8112	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N <_ ( N ^ 2 ) )
16	6, 15	jaoi 717	. 2 |- ( ( N e. NN \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) ) -> N <_ ( N ^ 2 ) )
17	5, 16	syl 14	1 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   <_ cle 8024   -ucneg 8160   NNcn 8950   2c2 9001   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ^cexp 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-exp 10554

This theorem is referenced by:  4sqexercise1  12433  4sqexercise2  12434  4sqlemsdc  12435