Theorem lmodnegadd 14476

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodnegadd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodnegadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodnegadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lmodnegadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodnegadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodabl 14474	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
4		lmodnegadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		lmodnegadd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14445	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12		lmodnegadd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
13		lmodnegadd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14445	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16		lmodnegadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lmodnegadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
18	6, 16, 17	ablinvadd 14019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20		lmodnegadd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 14471	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 14471	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝐵) · 𝑌))
23	21, 22	oveq12d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))
24	19, 23	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  Scalarcsca 13285   ·_𝑠 cvsca 13286  inv_gcminusg 13706  Abelcabl 13994  LModclmod 14427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-ring 14134  df-lmod 14429

This theorem is referenced by: (None)