Theorem lmodnegadd 14148

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodnegadd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodnegadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodnegadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lmodnegadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodnegadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodabl 14146	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
4		lmodnegadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		lmodnegadd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14117	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12		lmodnegadd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
13		lmodnegadd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14117	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16		lmodnegadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lmodnegadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
18	6, 16, 17	ablinvadd 13696	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20		lmodnegadd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 14143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 14143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝐵) · 𝑌))
23	21, 22	oveq12d 5972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))
24	19, 23	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  Scalarcsca 12962   ·_𝑠 cvsca 12963  inv_gcminusg 13383  Abelcabl 13671  LModclmod 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-cmn 13672  df-abl 13673  df-mgp 13733  df-ur 13772  df-ring 13810  df-lmod 14101

This theorem is referenced by: (None)