Theorem lmodring 13927

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodring	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		eqid 2196	. . 3 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2196	. . 3 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 13923	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑟 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘𝐹)𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘𝐹)𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp2bi 1015	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781  Scalarcsca 12783   ·_𝑠 cvsca 12784  Grpcgrp 13202  1_rcur 13591  Ringcrg 13628  LModclmod 13919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-lmod 13921

This theorem is referenced by:  lmodfgrp  13928  lmodmcl  13932  lmod0cl  13946  lmod1cl  13947  lmod0vs  13953  lmodvs0  13954  lmodvsmmulgdi  13955  lmodvsneg  13963  lmodsubvs  13975  lmodsubdi  13976  lmodsubdir  13977  lssvnegcl  14008  islss3  14011