Theorem islmod 14600

Description: The predicate "is a left module". (Contributed by NM, 4-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmod.v	|- V = ( Base ` W )
islmod.a	|- .+ = ( +g ` W )
islmod.s	|- .x. = ( .s ` W )
islmod.f	|- F = (Scalar ` W )
islmod.k	|- K = ( Base ` F )
islmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
islmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
islmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
islmod	|- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, w, x, F   K, q, r, w, x   .+^ , q, r, w, x   V, q, r, w, x   .+ , q, r, w, x   .1. , q, r, w, x   .X. , q, r, w, x   .x. , q, r, w, x

Allowed substitution hints:   W( x, w, r, q)

Proof of Theorem islmod

Dummy variables f a g k p s v t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . . 4 |- ( W e. Grp -> W e. _V )
2		islmod.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		basfn 13389	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
4		funfvex 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5478	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
6	3, 5	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) e. _V )
7	2, 6	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> V e. _V )
8		islmod.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
9		plusgslid 13443	. . . . . . . . . 10 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 13357	. . . . . . . . 9 |- ( W e. _V -> ( +g ` W ) e. _V )
11	8, 10	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> .+ e. _V )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( W e. _V /\ v = V ) -> .+ e. _V )
13		islmod.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = (Scalar ` W )
14		scaslid 13484	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
15	14	slotex 13357	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. _V -> (Scalar ` W ) e. _V )
16	13, 15	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. _V -> F e. _V )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) -> F e. _V )
18		simplrl 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> v = V )
19		simplrr 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> a = .+ )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> f = F )
21		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> f = F )
22	21	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = ( Base ` F ) )
23		islmod.k	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( Base ` F )
24	22, 23	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = K )
25	18, 19, 20, 24	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = K )
26	21	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = ( +g ` F ) )
27		islmod.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .+^ = ( +g ` F )
28	26, 27	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = .+^ )
29	18, 19, 20, 28	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = .+^ )
30	21	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( .r ` f ) = ( .r ` F ) )
31		islmod.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .X. = ( .r ` F )
32	30, 31	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( .r ` f ) = .X. )
33	32	sbceq1d 3056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
34	18, 19, 20, 33	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
35		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> W e. _V )
36		mulrslid 13463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
37	36	slotex 13357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. _V -> ( .r ` F ) e. _V )
38	16, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. _V -> ( .r ` F ) e. _V )
39	31, 38	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. _V -> .X. e. _V )
40		oveq 6081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t = .X. -> ( q t r ) = ( q .X. r ) )
41	40	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t = .X. -> ( ( q t r ) s w ) = ( ( q .X. r ) s w ) )
42	41	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t = .X. -> ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) <-> ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) ) )
43	42	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = .X. -> ( ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) )
44	43	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = .X. -> ( ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
45	44	2ralbidv 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = .X. -> ( A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
46	45	2ralbidv 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = .X. -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
47	46	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = .X. -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. _V /\ t = .X. ) -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
49	39, 48	sbcied 3088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. _V -> ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
50	21	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( f e. Ring <-> F e. Ring ) )
51		simp1 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> v = V )
52	51	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s w ) e. v <-> ( r s w ) e. V ) )
53		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> a = .+ )
54	53	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( w a x ) = ( w .+ x ) )
55	54	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( r s ( w a x ) ) = ( r s ( w .+ x ) ) )
56	53	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s w ) a ( r s x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) )
57	55, 56	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) <-> ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) ) )
58	53	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( q s w ) a ( r s w ) ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) )
59	58	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) <-> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) )
60	52, 57, 59	3anbi123d 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) <-> ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) ) )
61	21	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( 1r ` f ) = ( 1r ` F ) )
62		islmod.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- .1. = ( 1r ` F )
63	61, 62	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( 1r ` f ) = .1. )
64	63	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( 1r ` f ) s w ) = ( .1. s w ) )
65	64	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( 1r ` f ) s w ) = w <-> ( .1. s w ) = w ) )
66	65	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) )
67	60, 66	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
68	51, 67	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
69	51, 68	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
70	69	2ralbidv 2574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
71	50, 70	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
72	49, 71	sylan9bb 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) ) -> ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
73	35, 18, 19, 20, 72	syl13anc 1280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
74	34, 73	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
75	29, 74	sbceqbid 3058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
76	25, 75	sbceqbid 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
77	76	sbcbidv 3110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) /\ f = F ) -> ( [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
78	17, 77	sbcied 3088	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. _V /\ ( v = V /\ a = .+ ) ) -> ( [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
79	78	anassrs 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. _V /\ v = V ) /\ a = .+ ) -> ( [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
80	12, 79	sbcied 3088	. . . . . 6 |- ( ( W e. _V /\ v = V ) -> ( [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
81	7, 80	sbcied 3088	. . . . 5 |- ( W e. _V -> ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
82		islmod.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
83		vscaslid 13494	. . . . . . . 8 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
84	83	slotex 13357	. . . . . . 7 |- ( W e. _V -> ( .s ` W ) e. _V )
85	82, 84	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> .x. e. _V )
86		funfvex 5707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun Base /\ F e. dom Base ) -> ( Base ` F ) e. _V )
87	86	funfni 5478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ F e. _V ) -> ( Base ` F ) e. _V )
88	3, 16, 87	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( W e. _V -> ( Base ` F ) e. _V )
89	23, 88	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> K e. _V )
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( W e. _V /\ s = .x. ) -> K e. _V )
91	9	slotex 13357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. _V -> ( +g ` F ) e. _V )
92	16, 91	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. _V -> ( +g ` F ) e. _V )
93	27, 92	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. _V -> .+^ e. _V )
94	93	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. _V /\ ( s = .x. /\ k = K ) ) -> .+^ e. _V )
95		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> k = K )
96		simp1 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> s = .x. )
97	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s w ) = ( r .x. w ) )
98	97	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s w ) e. V <-> ( r .x. w ) e. V ) )
99	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s ( w .+ x ) ) = ( r .x. ( w .+ x ) ) )
100	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s x ) = ( r .x. x ) )
101	97, 100	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) )
102	99, 101	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) <-> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) ) )
103		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> p = .+^ )
104	103	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q p r ) = ( q .+^ r ) )
105	104	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) s w ) )
106	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q .+^ r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) .x. w ) )
107	105, 106	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) .x. w ) )
108	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s w ) = ( q .x. w ) )
109	108, 97	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
110	107, 109	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) <-> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
111	98, 102, 110	3anbi123d 1353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
112	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q .X. r ) s w ) = ( ( q .X. r ) .x. w ) )
113	97	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r s w ) ) = ( q s ( r .x. w ) ) )
114	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r .x. w ) ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) )
115	113, 114	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r s w ) ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) )
116	112, 115	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) <-> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) ) )
117	96	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( .1. s w ) = ( .1. .x. w ) )
118	117	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( .1. s w ) = w <-> ( .1. .x. w ) = w ) )
119	116, 118	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
120	111, 119	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
121	120	2ralbidv 2574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
122	95, 121	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
123	95, 122	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
124	123	anbi2d 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
125	124	3expa 1234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s = .x. /\ k = K ) /\ p = .+^ ) -> ( ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
126	125	adantll 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. _V /\ ( s = .x. /\ k = K ) ) /\ p = .+^ ) -> ( ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
127	94, 126	sbcied 3088	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. _V /\ ( s = .x. /\ k = K ) ) -> ( [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
128	127	anassrs 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. _V /\ s = .x. ) /\ k = K ) -> ( [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
129	90, 128	sbcied 3088	. . . . . 6 |- ( ( W e. _V /\ s = .x. ) -> ( [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
130	85, 129	sbcied 3088	. . . . 5 |- ( W e. _V -> ( [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
131	81, 130	bitrd 188	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
132	1, 131	syl 14	. . 3 |- ( W e. Grp -> ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
133	132	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) <-> ( W e. Grp /\ ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
134		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( g = W -> ( Base ` g ) = ( Base ` W ) )
135	134, 2	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( g = W -> ( Base ` g ) = V )
136		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( g = W -> ( +g ` g ) = ( +g ` W ) )
137	136, 8	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( g = W -> ( +g ` g ) = .+ )
138		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( g = W -> (Scalar ` g ) = (Scalar ` W ) )
139	138, 13	eqtr4di 2289	. . . . . 6 |- ( g = W -> (Scalar ` g ) = F )
140		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( g = W -> ( .s ` g ) = ( .s ` W ) )
141	140, 82	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 |- ( g = W -> ( .s ` g ) = .x. )
142	141	sbceq1d 3056	. . . . . 6 |- ( g = W -> ( [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
143	139, 142	sbceqbid 3058	. . . . 5 |- ( g = W -> ( [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
144	137, 143	sbceqbid 3058	. . . 4 |- ( g = W -> ( [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
145	135, 144	sbceqbid 3058	. . 3 |- ( g = W -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
146		df-lmod 14598	. . 3 |- LMod = { g e. Grp | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) }
147	145, 146	elrab2 2985	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
148		3anass 1013	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) <-> ( W e. Grp /\ ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
149	133, 147, 148	3bitr4i 212	1 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   Grpcgrp 13782   1rcur 14237   Ringcrg 14274   LModclmod 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-lmod 14598

This theorem is referenced by:  lmodlema  14601  islmodd  14602  lmodgrp  14603  lmodring  14604  lmodprop2d  14657