Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  effsumlt Unicode version

Theorem effsumlt 11036
 Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function at a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1
effsumlt.2
effsumlt.3
Assertion
Ref Expression
effsumlt
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9107 . . . . 5
2 0zd 8816 . . . . 5
3 effsumlt.2 . . . . . . . 8
43rpcnd 9229 . . . . . . 7
5 effsumlt.1 . . . . . . . 8
65eftvalcn 11001 . . . . . . 7
74, 6sylan 278 . . . . . 6
83rpred 9227 . . . . . . 7
9 reeftcl 10999 . . . . . . 7
108, 9sylan 278 . . . . . 6
117, 10eqeltrd 2165 . . . . 5
121, 2, 11serfre 9955 . . . 4
13 effsumlt.3 . . . 4
1412, 13ffvelrnd 5449 . . 3
15 eqid 2089 . . . 4
16 peano2nn0 8767 . . . . 5
1713, 16syl 14 . . . 4
18 eqidd 2090 . . . 4
19 nn0z 8824 . . . . . . 7
20 rpexpcl 10028 . . . . . . 7
213, 19, 20syl2an 284 . . . . . 6
22 faccl 10197 . . . . . . . 8
2322adantl 272 . . . . . . 7
2423nnrpd 9226 . . . . . 6
2521, 24rpdivcld 9245 . . . . 5
267, 25eqeltrd 2165 . . . 4
275efcllem 11003 . . . . 5
284, 27syl 14 . . . 4
291, 15, 17, 18, 26, 28isumrpcl 10942 . . 3
315efval2 11009 . . . 4
324, 31syl 14 . . 3
3311recnd 7570 . . . 4
341, 15, 17, 18, 33, 28isumsplit 10939 . . 3
3513nn0cnd 8782 . . . . . . . 8
36 ax-1cn 7492 . . . . . . . 8
37 pncan 7742 . . . . . . . 8
3835, 36, 37sylancl 405 . . . . . . 7
3938oveq2d 5682 . . . . . 6
4039sumeq1d 10809 . . . . 5
41 eqidd 2090 . . . . . 6
4213, 1syl6eleq 2181 . . . . . 6
43 elnn0uz 9110 . . . . . . 7
4443, 33sylan2br 283 . . . . . 6
4541, 42, 44fsum3ser 10845 . . . . 5
4640, 45eqtrd 2121 . . . 4
4746oveq1d 5681 . . 3
4832, 34, 473eqtrd 2125 . 2
4930, 48breqtrrd 3877 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1290   wcel 1439   class class class wbr 3851   cmpt 3905   cdm 4451  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7402  cr 7403  cc0 7404  c1 7405   caddc 7407   clt 7576   cmin 7707   cdiv 8193  cn 8476  cn0 8727  cz 8804  cuz 9073  crp 9188  cfz 9478   cseq 9906  cexp 10008  cfa 10187   cli 10720  csu 10796  ce 10986 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-ico 9366  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797  df-ef 10992 This theorem is referenced by:  efgt1p2  11039  efgt1p  11040
 Copyright terms: Public domain W3C validator