Theorem ltmul1dd 9948

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltmul1d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltmul1d.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
ltdiv1dd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltmul1dd	|- ( ph -> ( A x. C ) < ( B x. C ) )

Proof of Theorem ltmul1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1dd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltmul1d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltmul1d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltmul1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
5	2, 3, 4	ltmul1d 9934	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( A x. C ) < ( B x. C ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( A x. C ) < ( B x. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   x. cmul 8004   < clt 8181   RR+crp 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-sub 8319  df-neg 8320  df-rp 9850

This theorem is referenced by:  mul2lt0np  9959  cvg1nlemcau  11495  resqrexlemnm  11529  2expltfac  12962  cvgcmp2nlemabs  16400