Theorem ltmul1dd 9771

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltmul1d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltmul1d.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
ltdiv1dd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltmul1dd	|- ( ph -> ( A x. C ) < ( B x. C ) )

Proof of Theorem ltmul1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1dd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltmul1d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltmul1d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltmul1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
5	2, 3, 4	ltmul1d 9757	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( A x. C ) < ( B x. C ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( A x. C ) < ( B x. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7829   x. cmul 7835   < clt 8011   RR+crp 9672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-sub 8149  df-neg 8150  df-rp 9673

This theorem is referenced by:  mul2lt0np  9782  cvg1nlemcau  11012  resqrexlemnm  11046  cvgcmp2nlemabs  15184