Theorem ltmul2i 8843

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
prodgt0.2	|- B e. RR
ltmul1.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltmul2i	|- ( 0 < C -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltmul2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1.3	. 2 |- C e. RR
2		ltplus1.1	. . 3 |- A e. RR
3		prodgt0.2	. . 3 |- B e. RR
4		ltmul2 8776	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1323	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
6	1, 5	mpan 422	1 |- ( 0 < C -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2142   class class class wbr 3990  (class class class)co 5857   RRcr 7777   0cc0 7778   x. cmul 7783   < clt 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-ltxr 7963  df-sub 8096  df-neg 8097

This theorem is referenced by:  cos2bnd  11727