Theorem ltmulgt12 9135

Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmulgt12	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < B <-> A < ( B x. A ) ) )

Proof of Theorem ltmulgt12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulgt11 9134	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
2		recn 8256	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		recn 8256	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
4		mulcom 8252	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6	5	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
7	6	breq2d 4120	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( A < ( A x. B ) <-> A < ( B x. A ) ) )
8	1, 7	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < B <-> A < ( B x. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   CCcc 8121   RRcr 8122   0cc0 8123   1c1 8124   x. cmul 8128   < clt 8304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-sub 8442  df-neg 8443

This theorem is referenced by:  ltmulgt12d  10062  dvdsnprmd  12815  coseq00topi  15687