Theorem coseq00topi 14639

Description: Location of the zeroes of cosine in ( 0 [,] pi ). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq00topi	|- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem coseq00topi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7974	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		pire 14590	. . . . 5 |- pi e. RR
3	1, 2	elicc2i 9956	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
4	3	simp1bi 1013	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A e. RR )
5		neghalfpire 14597	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) e. RR )
7	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> 0 e. RR )
8		pirp 14593	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
9		rphalfcl 9698	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR+
11		rpgt0 9682	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 < ( pi / 2 ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 2 )
13		halfpire 14596	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
14		lt0neg2 8443	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 )
16	12, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) < 0
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) < 0 )
18	3	simp2bi 1014	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> 0 <_ A )
19	6, 7, 4, 17, 18	ltletrd 8397	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
20	2	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> pi e. RR )
21		3re 9010	. . . . . 6 |- 3 e. RR
22	21, 13	remulcli 7988	. . . . 5 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
23	22	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
24	3	simp3bi 1015	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A <_ pi )
25		2div2e1 9068	. . . . . . . 8 |- ( 2 / 2 ) = 1
26		2lt3 9106	. . . . . . . . 9 |- 2 < 3
27		2re 9006	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
28		2pos 9027	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
29	27, 21, 27, 28	ltdiv1ii 8903	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < 3 <-> ( 2 / 2 ) < ( 3 / 2 ) )
30	26, 29	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( 2 / 2 ) < ( 3 / 2 )
31	25, 30	eqbrtrri 4040	. . . . . . 7 |- 1 < ( 3 / 2 )
32	21	rehalfcli 9184	. . . . . . . 8 |- ( 3 / 2 ) e. RR
33		pipos 14592	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
34		ltmulgt12 8839	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 / 2 ) e. RR /\ 0 < pi ) -> ( 1 < ( 3 / 2 ) <-> pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi ) ) )
35	2, 32, 33, 34	mp3an 1347	. . . . . . 7 |- ( 1 < ( 3 / 2 ) <-> pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi ) )
36	31, 35	mpbi 145	. . . . . 6 |- pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi )
37	21	recni 7986	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
38		2cn 9007	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
39		2ap0 9029	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
40	38, 39	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
41	2	recni 7986	. . . . . . 7 |- pi e. CC
42		div32ap 8666	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. pi ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
43	37, 40, 41, 42	mp3an 1347	. . . . . 6 |- ( ( 3 / 2 ) x. pi ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) )
44	36, 43	breqtri 4042	. . . . 5 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
45	44	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
46	4, 20, 23, 24, 45	lelttrd 8099	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
47		neghalfpirx 14598	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
48	22	rexri 8032	. . . 4 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
49		elioo2 9938	. . . 4 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 426	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
51	4, 19, 46, 50	syl3anbrc 1182	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52		coseq0q4123 14638	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )
53	51, 52	syl 14	1 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   CCcc 7826   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829   x. cmul 7833   RR*cxr 8008   < clt 8009   <_ cle 8010   -ucneg 8146   # cap 8555   / cdiv 8646   2c2 8987   3c3 8988   RR+crp 9670   (,)cioo 9905   [,]cicc 9908   cosccos 11670   picpi 11672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948  ax-pre-suploc 7949  ax-addf 7950  ax-mulf 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-disj 3995  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-isom 5239  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-of 6100  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-frec 6409  df-1o 6434  df-oadd 6438  df-er 6552  df-map 6667  df-pm 6668  df-en 6758  df-dom 6759  df-fin 6760  df-sup 7000  df-inf 7001  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-xneg 9789  df-xadd 9790  df-ioo 9909  df-ioc 9910  df-ico 9911  df-icc 9912  df-fz 10026  df-fzo 10160  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-fac 10723  df-bc 10745  df-ihash 10773  df-shft 10841  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-clim 11304  df-sumdc 11379  df-ef 11673  df-sin 11675  df-cos 11676  df-pi 11678  df-rest 12711  df-topgen 12730  df-psmet 13816  df-xmet 13817  df-met 13818  df-bl 13819  df-mopn 13820  df-top 13881  df-topon 13894  df-bases 13926  df-ntr 13979  df-cn 14071  df-cnp 14072  df-tx 14136  df-cncf 14441  df-limced 14508  df-dvap 14509

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  14640