Theorem coseq00topi 15382

Description: Location of the zeroes of cosine in ( 0 [,] pi ). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq00topi	|- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem coseq00topi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8092	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		pire 15333	. . . . 5 |- pi e. RR
3	1, 2	elicc2i 10081	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
4	3	simp1bi 1015	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A e. RR )
5		neghalfpire 15340	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) e. RR )
7	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> 0 e. RR )
8		pirp 15336	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
9		rphalfcl 9823	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR+
11		rpgt0 9807	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 < ( pi / 2 ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 2 )
13		halfpire 15339	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
14		lt0neg2 8562	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 )
16	12, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) < 0
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) < 0 )
18	3	simp2bi 1016	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> 0 <_ A )
19	6, 7, 4, 17, 18	ltletrd 8516	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
20	2	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> pi e. RR )
21		3re 9130	. . . . . 6 |- 3 e. RR
22	21, 13	remulcli 8106	. . . . 5 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
23	22	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
24	3	simp3bi 1017	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A <_ pi )
25		2div2e1 9189	. . . . . . . 8 |- ( 2 / 2 ) = 1
26		2lt3 9227	. . . . . . . . 9 |- 2 < 3
27		2re 9126	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
28		2pos 9147	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
29	27, 21, 27, 28	ltdiv1ii 9022	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < 3 <-> ( 2 / 2 ) < ( 3 / 2 ) )
30	26, 29	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( 2 / 2 ) < ( 3 / 2 )
31	25, 30	eqbrtrri 4074	. . . . . . 7 |- 1 < ( 3 / 2 )
32	21	rehalfcli 9306	. . . . . . . 8 |- ( 3 / 2 ) e. RR
33		pipos 15335	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
34		ltmulgt12 8958	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 / 2 ) e. RR /\ 0 < pi ) -> ( 1 < ( 3 / 2 ) <-> pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi ) ) )
35	2, 32, 33, 34	mp3an 1350	. . . . . . 7 |- ( 1 < ( 3 / 2 ) <-> pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi ) )
36	31, 35	mpbi 145	. . . . . 6 |- pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi )
37	21	recni 8104	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
38		2cn 9127	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
39		2ap0 9149	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
40	38, 39	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
41	2	recni 8104	. . . . . . 7 |- pi e. CC
42		div32ap 8785	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. pi ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
43	37, 40, 41, 42	mp3an 1350	. . . . . 6 |- ( ( 3 / 2 ) x. pi ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) )
44	36, 43	breqtri 4076	. . . . 5 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
45	44	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
46	4, 20, 23, 24, 45	lelttrd 8217	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
47		neghalfpirx 15341	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
48	22	rexri 8150	. . . 4 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
49		elioo2 10063	. . . 4 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 426	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
51	4, 19, 46, 50	syl3anbrc 1184	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52		coseq0q4123 15381	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )
53	51, 52	syl 14	1 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4051   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   CCcc 7943   RRcr 7944   0cc0 7945   1c1 7946   x. cmul 7950   RR*cxr 8126   < clt 8127   <_ cle 8128   -ucneg 8264   # cap 8674   / cdiv 8765   2c2 9107   3c3 9108   RR+crp 9795   (,)cioo 10030   [,]cicc 10033   cosccos 12031   picpi 12033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065  ax-pre-suploc 8066  ax-addf 8067  ax-mulf 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-disj 4028  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-of 6171  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-er 6633  df-map 6750  df-pm 6751  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-xneg 9914  df-xadd 9915  df-ioo 10034  df-ioc 10035  df-ico 10036  df-icc 10037  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-fac 10893  df-bc 10915  df-ihash 10943  df-shft 11201  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-clim 11665  df-sumdc 11740  df-ef 12034  df-sin 12036  df-cos 12037  df-pi 12039  df-rest 13148  df-topgen 13167  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-met 14382  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-top 14545  df-topon 14558  df-bases 14590  df-ntr 14643  df-cn 14735  df-cnp 14736  df-tx 14800  df-cncf 15118  df-limced 15203  df-dvap 15204

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  15383