Theorem coseq00topi 15826

Description: Location of the zeroes of cosine in ( 0 [,] pi ). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq00topi	|- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )

Proof of Theorem coseq00topi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8290	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		pire 15777	. . . . 5 |- pi e. RR
3	1, 2	elicc2i 10291	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
4	3	simp1bi 1039	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A e. RR )
5		neghalfpire 15784	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) e. RR )
7	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> 0 e. RR )
8		pirp 15780	. . . . . . . 8 |- pi e. RR+
9		rphalfcl 10032	. . . . . . . 8 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR+
11		rpgt0 10016	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 < ( pi / 2 ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 2 )
13		halfpire 15783	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
14		lt0neg2 8760	. . . . . . 7 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 0 < ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) < 0 )
16	12, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- -u ( pi / 2 ) < 0
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) < 0 )
18	3	simp2bi 1040	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> 0 <_ A )
19	6, 7, 4, 17, 18	ltletrd 8714	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
20	2	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> pi e. RR )
21		3re 9328	. . . . . 6 |- 3 e. RR
22	21, 13	remulcli 8304	. . . . 5 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
23	22	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR )
24	3	simp3bi 1041	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A <_ pi )
25		2div2e1 9387	. . . . . . . 8 |- ( 2 / 2 ) = 1
26		2lt3 9425	. . . . . . . . 9 |- 2 < 3
27		2re 9324	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
28		2pos 9345	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
29	27, 21, 27, 28	ltdiv1ii 9220	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < 3 <-> ( 2 / 2 ) < ( 3 / 2 ) )
30	26, 29	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( 2 / 2 ) < ( 3 / 2 )
31	25, 30	eqbrtrri 4137	. . . . . . 7 |- 1 < ( 3 / 2 )
32	21	rehalfcli 9504	. . . . . . . 8 |- ( 3 / 2 ) e. RR
33		pipos 15779	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
34		ltmulgt12 9156	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 / 2 ) e. RR /\ 0 < pi ) -> ( 1 < ( 3 / 2 ) <-> pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi ) ) )
35	2, 32, 33, 34	mp3an 1374	. . . . . . 7 |- ( 1 < ( 3 / 2 ) <-> pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi ) )
36	31, 35	mpbi 145	. . . . . 6 |- pi < ( ( 3 / 2 ) x. pi )
37	21	recni 8302	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
38		2cn 9325	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
39		2ap0 9347	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
40	38, 39	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
41	2	recni 8302	. . . . . . 7 |- pi e. CC
42		div32ap 8983	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ pi e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. pi ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
43	37, 40, 41, 42	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( 3 / 2 ) x. pi ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) )
44	36, 43	breqtri 4139	. . . . 5 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
45	44	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
46	4, 20, 23, 24, 45	lelttrd 8414	. . 3 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
47		neghalfpirx 15785	. . . 4 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
48	22	rexri 8347	. . . 4 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
49		elioo2 10273	. . . 4 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
50	47, 48, 49	mp2an 426	. . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
51	4, 19, 46, 50	syl3anbrc 1208	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52		coseq0q4123 15825	. 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )
53	51, 52	syl 14	1 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` A ) = 0 <-> A = ( pi / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   2c2 9305   3c3 9306   RR+crp 10004   (,)cioo 10240   [,]cicc 10243   cosccos 12356   picpi 12358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ioc 10245  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362  df-pi 12364  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  15827