ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnegcon1 Unicode version

Theorem ltnegcon1 7878
Description: Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltnegcon1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
B  <->  -u B  <  A
) )

Proof of Theorem ltnegcon1
StepHypRef Expression
1 renegcl 7680 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 ltneg 7877 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <  B  <->  -u B  <  -u -u A
) )
31, 2sylan 277 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
B  <->  -u B  <  -u -u A
) )
4 simpl 107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
54recnd 7453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
65negnegd 7721 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u -u A  =  A )
76breq2d 3832 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <  -u -u A  <->  -u B  < 
A ) )
83, 7bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
B  <->  -u B  <  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3820   RRcr 7286    < clt 7459   -ucneg 7591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-addcom 7382  ax-addass 7384  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-cnre 7393  ax-pre-ltadd 7398
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-ltxr 7464  df-sub 7592  df-neg 7593
This theorem is referenced by:  ltnegcon1i  7911  ltnegcon1d  7936  btwnz  8791  supinfneg  9008  infsupneg  9009  abslt  10409
  Copyright terms: Public domain W3C validator