Theorem negnegd 8177

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negnegd	|- ( ph -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		negneg 8125	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   CCcc 7730   -ucneg 8047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-sub 8048  df-neg 8049

This theorem is referenced by:  ltnegcon1  8338  ltnegcon2  8339  lenegcon1  8341  lenegcon2  8342  recexre  8453  zaddcllemneg  9206  zeo  9269  zindd  9282  infrenegsupex  9505  supinfneg  9506  infsupneg  9507  supminfex  9508  negm  9524  xnegneg  9737  ceilid  10214  expnegap0  10427  expaddzaplem  10462  expaddzap  10463  cjcj  10783  negfi  11127  minabs  11135  minclpr  11136  sincossq  11645  infssuzex  11835  znnen  12127  ptolemy  13145