Theorem negnegd 8481

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negnegd	|- ( ph -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		negneg 8429	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   CCcc 8030   -ucneg 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-neg 8353

This theorem is referenced by:  ltnegcon1  8643  ltnegcon2  8644  lenegcon1  8646  lenegcon2  8647  recexre  8758  zaddcllemneg  9518  zeo  9585  zindd  9598  infrenegsupex  9828  supinfneg  9829  infsupneg  9830  supminfex  9831  negm  9849  xnegneg  10068  infssuzex  10494  zsupssdc  10499  ceilid  10578  expnegap0  10810  expaddzaplem  10845  expaddzap  10846  cjcj  11461  negfi  11806  minabs  11814  minclpr  11815  mingeb  11820  sincossq  12327  pcid  12915  4sqlem10  12978  znnen  13037  mulgnegnn  13737  mulgsubcl  13741  mulgneg  13745  mulgz  13755  mulgass  13764  ghmmulg  13861  ptolemy  15567  lgsdir2lem4  15779