Theorem negnegd 8480

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negnegd	|- ( ph -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		negneg 8428	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   CCcc 8029   -ucneg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  ltnegcon1  8642  ltnegcon2  8643  lenegcon1  8645  lenegcon2  8646  recexre  8757  zaddcllemneg  9517  zeo  9584  zindd  9597  infrenegsupex  9827  supinfneg  9828  infsupneg  9829  supminfex  9830  negm  9848  xnegneg  10067  infssuzex  10492  zsupssdc  10497  ceilid  10576  expnegap0  10808  expaddzaplem  10843  expaddzap  10844  cjcj  11443  negfi  11788  minabs  11796  minclpr  11797  mingeb  11802  sincossq  12308  pcid  12896  4sqlem10  12959  znnen  13018  mulgnegnn  13718  mulgsubcl  13722  mulgneg  13726  mulgz  13736  mulgass  13745  ghmmulg  13842  ptolemy  15547  lgsdir2lem4  15759