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Theorem infsupneg 9512
Description: If a set of real numbers has a greatest lower bound, the set of the negation of those numbers has a least upper bound. To go in the other direction see supinfneg 9511. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infsupneg.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
infsupneg.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
infsupneg  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  < 
z ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z, w, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w)

Proof of Theorem infsupneg
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infsupneg.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 breq2 3971 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <  a  <->  y  <  x ) )
32notbid 657 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( -.  y  <  a  <->  -.  y  <  x ) )
43ralbidv 2457 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  a  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
5 breq1 3970 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  y  <->  x  <  y ) )
65imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
76ralbidv 2457 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  RR  ( a  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
84, 7anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
a  /\  A. y  e.  RR  ( a  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
98cbvrexv 2681 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  a  /\  A. y  e.  RR  (
a  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
101, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  a  /\  A. y  e.  RR  (
a  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
11 breq1 3970 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  a  <->  y  <  a ) )
1211notbid 657 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( -.  b  <  a  <->  -.  y  <  a ) )
1312cbvralv 2680 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  a )
14 breq1 3970 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
c  <  b  <->  z  <  b ) )
1514cbvrexv 2681 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  c  <  b  <->  E. z  e.  A  z  <  b )
1615imbi2i 225 . . . . . . 7  |-  ( ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  <->  ( a  <  b  ->  E. z  e.  A  z  <  b ) )
1716ralbii 2463 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  <->  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. z  e.  A  z  <  b ) )
18 breq2 3971 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  y ) )
19 breq2 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  (
z  <  b  <->  z  <  y ) )
2019rexbidv 2458 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  ( E. z  e.  A  z  <  b  <->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( a  <  b  ->  E. z  e.  A  z  <  b )  <->  ( a  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2221cbvralv 2680 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. z  e.  A  z  <  b )  <->  A. y  e.  RR  ( a  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2317, 22bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  <->  A. y  e.  RR  ( a  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2413, 23anbi12i 456 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
a  /\  A. y  e.  RR  ( a  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2524rexbii 2464 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  <->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  a  /\  A. y  e.  RR  (
a  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2610, 25sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )
27 renegcl 8140 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
2827ad2antlr 481 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )  ->  -u a  e.  RR )
29 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )  ->  a  e.  RR )
30 simprl 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )  ->  A. b  e.  A  -.  b  <  a )
31 elrabi 2865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  y  e.  RR )
32 negeq 8072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  -u w  =  -u y )
3332eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
3433elrab3 2869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
3534biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A ) )
3631, 35mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
37 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  a  <->  -u y  < 
a ) )
3837notbid 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  -u y  ->  ( -.  b  <  a  <->  -.  -u y  <  a ) )
3938rspcv 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  ->  -.  -u y  <  a
) )
4036, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  ->  -.  -u y  <  a
) )
4140adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  ->  -.  -u y  <  a
) )
42 ltnegcon1 8342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  < 
y  <->  -u y  <  a
) )
4342ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( -u a  < 
y  <->  -u y  <  a
) )
4443notbid 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  -u a  <  y  <->  -.  -u y  < 
a ) )
4531, 44sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  -u a  <  y  <->  -.  -u y  <  a ) )
4641, 45sylibrd 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  ->  -.  -u a  <  y
) )
4746ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  -.  b  < 
a  ->  -.  -u a  <  y ) )
4847ralrimdva 2537 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  -u a  <  y ) )
4929, 30, 48sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  -u a  <  y
)
50 nfv 1508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c ( ph  /\  a  e.  RR )
51 nfcv 2299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ c RR
52 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c  a  <  b
53 nfre1 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c E. c  e.  A  c  <  b
5452, 53nfim 1552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ c ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )
5551, 54nfralya 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )
5650, 55nfan 1545 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )
57 nfv 1508 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c  y  e.  RR
5856, 57nfan 1545 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )
59 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c  y  <  -u a
6058, 59nfan 1545 . . . . . . . . 9  |-  F/ c ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a )
61 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
c  e.  A )
62 infsupneg.ss . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6362sseld 3127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( c  e.  A  ->  c  e.  RR ) )
6463ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
( c  e.  A  ->  c  e.  RR ) )
6561, 64mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
c  e.  RR )
6665renegcld 8259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  ->  -u c  e.  RR )
6765recnd 7908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
c  e.  CC )
6867negnegd 8181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  ->  -u -u c  =  c
)
6968, 61eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  ->  -u -u c  e.  A
)
70 negeq 8072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  -u c  ->  -u w  =  -u -u c )
7170eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u c  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u c  e.  A ) )
7271elrab 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u c  e.  RR  /\  -u -u c  e.  A ) )
7366, 69, 72sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  ->  -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )
74 simp-4r 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
y  e.  RR )
75 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
c  <  -u y )
7665, 74, 75ltnegcon2d 8405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  -> 
y  <  -u c )
77 breq2 3971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  -u c  ->  (
y  <  z  <->  y  <  -u c ) )
7877rspcev 2816 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u c  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  y  <  -u c
)  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  <  z
)
7973, 76, 78syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a
)  /\  c  e.  A )  /\  c  <  -u y )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  < 
z )
80 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
81 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
82 simplr 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  ->  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )
8380, 81, 82jca31 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )
84 ltnegcon2 8343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( y  <  -u a  <->  a  <  -u y ) )
8584ancoms 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  -u a  <->  a  <  -u y ) )
8685adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  ->  (
y  <  -u a  <->  a  <  -u y ) )
87 renegcl 8140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
88 breq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  -u y ) )
89 breq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  -u y  ->  (
c  <  b  <->  c  <  -u y ) )
9089rexbidv 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  ( E. c  e.  A  c  <  b  <->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) )
9188, 90imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  -u y  ->  (
( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  <->  ( a  <  -u y  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) ) )
9291rspcv 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  -> 
( a  <  -u y  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) ) )
9387, 92syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  -> 
( a  <  -u y  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) ) )
9493adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b )  ->  ( a  <  -u y  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) ) )
9594imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  ->  (
a  <  -u y  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) )
9686, 95sylbid 149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  ->  (
y  <  -u a  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y ) )
9796imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  <  -u a
)  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y )
9883, 97sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a )  ->  E. c  e.  A  c  <  -u y )
9960, 79, 98r19.29af 2598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  -u a )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  < 
z )
10099ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  -u a  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  <  z
) )
101100ralrimiva 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  -u a  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
)
102101adantrl 470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  -u a  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  <  z
) )
103 breq1 3970 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <  y  <->  -u a  < 
y ) )
104103notbid 657 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -u a  <  y ) )
105104ralbidv 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  -u a  <  y
) )
106 breq2 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -u a ) )
107106imbi1d 230 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )  <->  ( y  <  -u a  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
) )
108107ralbidv 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )  <->  A. y  e.  RR  (
y  <  -u a  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  < 
z ) ) )
109105, 108anbi12d 465 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
)  <->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  -u a  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <  -u a  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
) ) )
110109rspcev 2816 . . . . 5  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\  ( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  -u a  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <  -u a  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
) )
11128, 49, 102, 110syl12anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
) )
112111ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  (
a  <  b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  < 
z ) ) ) )
113112rexlimdva 2574 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  b  <  a  /\  A. b  e.  RR  ( a  < 
b  ->  E. c  e.  A  c  <  b ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
y  <  z )
) ) )
11426, 113mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439    C_ wss 3102   class class class wbr 3967   RRcr 7733    < clt 7914   -ucneg 8051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-ltxr 7919  df-sub 8052  df-neg 8053
This theorem is referenced by:  infssuzcldc  11850
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