Theorem infsupneg 9975

Description: If a set of real numbers has a greatest lower bound, the set of the negation of those numbers has a least upper bound. To go in the other direction see supinfneg 9974. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsupneg.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infsupneg.ss	|- ( ph -> A C_ RR )

Assertion

Ref	Expression
infsupneg	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z, w, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, w)

Proof of Theorem infsupneg

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infsupneg.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
2		breq2 4129	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( y < a <-> y < x ) )
3	2	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( -. y < a <-> -. y < x ) )
4	3	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. y e. A -. y < a <-> A. y e. A -. y < x ) )
5		breq1 4128	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( a < y <-> x < y ) )
6	5	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( a < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
7	6	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( a = x -> ( ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
9	8	cbvrexv 2787	. . . 4 |- ( E. a e. RR ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
10	1, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
11		breq1 4128	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( b < a <-> y < a ) )
12	11	notbid 677	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( -. b < a <-> -. y < a ) )
13	12	cbvralv 2786	. . . . 5 |- ( A. b e. A -. b < a <-> A. y e. A -. y < a )
14		breq1 4128	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( c < b <-> z < b ) )
15	14	cbvrexv 2787	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. A c < b <-> E. z e. A z < b )
16	15	imbi2i 226	. . . . . . 7 |- ( ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> ( a < b -> E. z e. A z < b ) )
17	16	ralbii 2556	. . . . . 6 |- ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> A. b e. RR ( a < b -> E. z e. A z < b ) )
18		breq2 4129	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( a < b <-> a < y ) )
19		breq2 4129	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( z < b <-> z < y ) )
20	19	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( E. z e. A z < b <-> E. z e. A z < y ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( ( a < b -> E. z e. A z < b ) <-> ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
22	21	cbvralv 2786	. . . . . 6 |- ( A. b e. RR ( a < b -> E. z e. A z < b ) <-> A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) )
23	17, 22	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) )
24	13, 23	anbi12i 464	. . . 4 |- ( ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) <-> ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
25	24	rexbii 2557	. . 3 |- ( E. a e. RR ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) <-> E. a e. RR ( A. y e. A -. y < a /\ A. y e. RR ( a < y -> E. z e. A z < y ) ) )
26	10, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) )
27		renegcl 8577	. . . . . 6 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
28	27	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> -u a e. RR )
29		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> a e. RR )
30		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> A. b e. A -. b < a )
31		elrabi 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> y e. RR )
32		negeq 8509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> -u w = -u y )
33	32	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( -u w e. A <-> -u y e. A ) )
34	33	elrab3 2983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> ( y e. { w e. RR | -u w e. A } <-> -u y e. A ) )
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> -u y e. A ) )
36	31, 35	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> -u y e. A )
37		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = -u y -> ( b < a <-> -u y < a ) )
38	37	notbid 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = -u y -> ( -. b < a <-> -. -u y < a ) )
39	38	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u y < a ) )
40	36, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u y < a ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u y < a ) )
42		ltnegcon1 8781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a < y <-> -u y < a ) )
43	42	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( -u a < y <-> -u y < a ) )
44	43	notbid 677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( -. -u a < y <-> -. -u y < a ) )
45	31, 44	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( -. -u a < y <-> -. -u y < a ) )
46	41, 45	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u a < y ) )
47	46	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. { w e. RR | -u w e. A } ) -> ( A. b e. A -. b < a -> -. -u a < y ) )
48	47	ralrimdva 2630	. . . . . 6 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A -. b < a -> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y ) )
49	29, 30, 48	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y )
50		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c ( ph /\ a e. RR )
51		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ c RR
52		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c a < b
53		nfre1 2593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c E. c e. A c < b
54	52, 53	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ c ( a < b -> E. c e. A c < b )
55	51, 54	nfralya 2590	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b )
56	50, 55	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) )
57		nfv 1581	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c y e. RR
58	56, 57	nfan 1618	. . . . . . . . . 10 |- F/ c ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR )
59		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 |- F/ c y < -u a
60	58, 59	nfan 1618	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a )
61		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c e. A )
62		infsupneg.ss	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
63	62	sseld 3247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c e. A -> c e. RR ) )
64	63	ad6antr 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> ( c e. A -> c e. RR ) )
65	61, 64	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c e. RR )
66	65	renegcld 8697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u c e. RR )
67	65	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c e. CC )
68	67	negnegd 8618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u -u c = c )
69	68, 61	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u -u c e. A )
70		negeq 8509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u c -> -u w = -u -u c )
71	70	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u c -> ( -u w e. A <-> -u -u c e. A ) )
72	71	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u c e. { w e. RR | -u w e. A } <-> ( -u c e. RR /\ -u -u c e. A ) )
73	66, 69, 72	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> -u c e. { w e. RR | -u w e. A } )
74		simp-4r 548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> y e. RR )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> c < -u y )
76	65, 74, 75	ltnegcon2d 8844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> y < -u c )
77		breq2 4129	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = -u c -> ( y < z <-> y < -u c ) )
78	77	rspcev 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u c e. { w e. RR | -u w e. A } /\ y < -u c ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z )
79	73, 76, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) /\ c e. A ) /\ c < -u y ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z )
80		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> a e. RR )
81		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
82		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) )
83	80, 81, 82	jca31 309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) )
84		ltnegcon2 8782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
87		renegcl 8577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
88		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = -u y -> ( a < b <-> a < -u y ) )
89		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = -u y -> ( c < b <-> c < -u y ) )
90	89	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = -u y -> ( E. c e. A c < b <-> E. c e. A c < -u y ) )
91	88, 90	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = -u y -> ( ( a < b -> E. c e. A c < b ) <-> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
92	91	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR -> ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
93	87, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> ( a < -u y -> E. c e. A c < -u y ) )
96	86, 95	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> ( y < -u a -> E. c e. A c < -u y ) )
97	96	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y < -u a ) -> E. c e. A c < -u y )
98	83, 97	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) -> E. c e. A c < -u y )
99	60, 79, 98	r19.29af 2692	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) /\ y < -u a ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z )
100	99	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) )
101	100	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) )
102	101	adantrl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) )
103		breq1 4128	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u a -> ( x < y <-> -u a < y ) )
104	103	notbid 677	. . . . . . . 8 |- ( x = -u a -> ( -. x < y <-> -. -u a < y ) )
105	104	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y <-> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y ) )
106		breq2 4129	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u a -> ( y < x <-> y < -u a ) )
107	106	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = -u a -> ( ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) <-> ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
108	107	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( x = -u a -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
109	105, 108	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) <-> ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y /\ A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) )
110	109	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( -u a e. RR /\ ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. -u a < y /\ A. y e. RR ( y < -u a -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
111	28, 49, 102, 110	syl12anc 1276	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )
112	111	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) )
113	112	rexlimdva 2668	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR ( A. b e. A -. b < a /\ A. b e. RR ( a < b -> E. c e. A c < b ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) ) )
114	26, 113	mpd 13	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   -ucneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  infssuzcldc  10646