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Theorem supinfneg 9541
Description: If a set of real numbers has a least upper bound, the set of the negation of those numbers has a greatest lower bound. For a theorem which is similar but only for the boundedness part, see ublbneg 9559. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supinfneg.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
supinfneg.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
supinfneg  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z, w, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w)

Proof of Theorem supinfneg
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supinfneg.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 breq1 3990 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  y  <->  x  <  y ) )
32notbid 662 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( -.  a  <  y  <->  -.  x  <  y ) )
43ralbidv 2470 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
5 breq2 3991 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <  a  <->  y  <  x ) )
65imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
76ralbidv 2470 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
84, 7anbi12d 470 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( A. y  e.  A  -.  a  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
98cbvrexv 2697 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
101, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
11 breq2 3991 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  y ) )
1211notbid 662 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( -.  a  <  b  <->  -.  a  <  y ) )
1312cbvralv 2696 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  <->  A. y  e.  A  -.  a  <  y )
14 breq2 3991 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
b  <  c  <->  b  <  z ) )
1514cbvrexv 2697 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  b  <  c  <->  E. z  e.  A  b  <  z )
1615imbi2i 225 . . . . . . 7  |-  ( ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  ( b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z ) )
1716ralbii 2476 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. z  e.  A  b  <  z ) )
18 breq1 3990 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  a  <->  y  <  a ) )
19 breq1 3990 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  z  <->  y  <  z ) )
2019rexbidv 2471 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  ( E. z  e.  A  b  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z )  <->  ( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221cbvralv 2696 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2317, 22bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2413, 23anbi12i 457 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  a  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2524rexbii 2477 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  <->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2610, 25sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )
27 renegcl 8167 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
2827ad2antlr 486 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  -u a  e.  RR )
29 simplr 525 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  a  e.  RR )
30 simprl 526 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a  <  b )
31 elrabi 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  y  e.  RR )
32 negeq 8099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  -u w  =  -u y )
3332eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
3433elrab3 2887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
3534biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A ) )
3631, 35mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
37 breq2 3991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  -u y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  -u y ) )
3837notbid 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  -u y  ->  ( -.  a  <  b  <->  -.  a  <  -u y ) )
3938rspcv 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
4036, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
4140adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
42 ltnegcon2 8370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( y  <  -u a  <->  a  <  -u y ) )
4342notbid 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u a  <->  -.  a  <  -u y ) )
4431, 43sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u a  <->  -.  a  <  -u y
) )
4541, 44sylibrd 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  y  <  -u a
) )
4645ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  -.  a  < 
b  ->  -.  y  <  -u a ) )
4746ralrimdva 2550 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a ) )
4829, 30, 47sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a
)
49 nfv 1521 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c ( ph  /\  a  e.  RR )
50 nfcv 2312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ c RR
51 nfv 1521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c  b  <  a
52 nfre1 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c E. c  e.  A  b  <  c
5351, 52nfim 1565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ c ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )
5450, 53nfralya 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )
5549, 54nfan 1558 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )
56 nfv 1521 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c  y  e.  RR
5755, 56nfan 1558 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )
58 nfv 1521 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c
-u a  <  y
5957, 58nfan 1558 . . . . . . . . 9  |-  F/ c ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )
60 simplr 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  A )
61 supinfneg.ss . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6261sseld 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( c  e.  A  ->  c  e.  RR ) )
6362ad6antr 495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  (
c  e.  A  -> 
c  e.  RR ) )
6460, 63mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  RR )
6564renegcld 8286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  e.  RR )
6664recnd 7935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  CC )
6766negnegd 8208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u -u c  =  c )
6867, 60eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u -u c  e.  A )
69 negeq 8099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  -u c  ->  -u w  =  -u -u c )
7069eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u c  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u c  e.  A ) )
7170elrab 2886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u c  e.  RR  /\  -u -u c  e.  A ) )
7265, 68, 71sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )
73 simp-4r 537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  y  e.  RR )
74 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u y  <  c )
7573, 64, 74ltnegcon1d 8431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  <  y )
76 breq1 3990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  -u c  ->  (
z  <  y  <->  -u c  < 
y ) )
7776rspcev 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u c  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  -u c  <  y
)  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
7872, 75, 77syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
79 simpllr 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
80 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
81 simplr 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )
8279, 80, 81jca31 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )
83 ltnegcon1 8369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  < 
y  <->  -u y  <  a
) )
8483adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u a  <  y  <->  -u y  < 
a ) )
85 renegcl 8167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
86 breq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  a  <->  -u y  < 
a ) )
87 breq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  c  <->  -u y  < 
c ) )
8887rexbidv 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  ( E. c  e.  A  b  <  c  <->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) )
8986, 88imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  -u y  ->  (
( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) ) )
9089rspcv 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  -> 
( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) ) )
9185, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  -> 
( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) ) )
9291adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  ->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) ) )
9392imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) )
9484, 93sylbid 149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u a  <  y  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) )
9594imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  -u a  <  y
)  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c )
9682, 95sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c )
9759, 78, 96r19.29af 2611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
9897ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) )
9998ralrimiva 2543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
)
10099adantrl 475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) )
101 breq2 3991 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -u a ) )
102101notbid 662 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  -u a ) )
103102ralbidv 2470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a
) )
104 breq1 3990 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <  y  <->  -u a  < 
y ) )
105104imbi1d 230 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )  <->  (
-u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
) )
106105ralbidv 2470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) ) )
107103, 106anbi12d 470 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a  /\  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
108107rspcev 2834 . . . . 5  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\  ( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a  /\  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
10928, 48, 100, 108syl12anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
110109ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
111110rexlimdva 2587 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
11226, 111mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   class class class wbr 3987   RRcr 7760    < clt 7941   -ucneg 8078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-ltxr 7946  df-sub 8079  df-neg 8080
This theorem is referenced by:  supminfex  9543  infssuzex  11891
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