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Theorem supinfneg 9402
Description: If a set of real numbers has a least upper bound, the set of the negation of those numbers has a greatest lower bound. For a theorem which is similar but only for the boundedness part, see ublbneg 9417. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supinfneg.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
supinfneg.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
supinfneg  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z, w, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w)

Proof of Theorem supinfneg
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supinfneg.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 breq1 3932 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  y  <->  x  <  y ) )
32notbid 656 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( -.  a  <  y  <->  -.  x  <  y ) )
43ralbidv 2437 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
5 breq2 3933 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <  a  <->  y  <  x ) )
65imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
76ralbidv 2437 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
84, 7anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( A. y  e.  A  -.  a  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
98cbvrexv 2655 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
101, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
11 breq2 3933 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  y ) )
1211notbid 656 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( -.  a  <  b  <->  -.  a  <  y ) )
1312cbvralv 2654 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  <->  A. y  e.  A  -.  a  <  y )
14 breq2 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
b  <  c  <->  b  <  z ) )
1514cbvrexv 2655 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  b  <  c  <->  E. z  e.  A  b  <  z )
1615imbi2i 225 . . . . . . 7  |-  ( ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  ( b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z ) )
1716ralbii 2441 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. z  e.  A  b  <  z ) )
18 breq1 3932 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  a  <->  y  <  a ) )
19 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  z  <->  y  <  z ) )
2019rexbidv 2438 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  ( E. z  e.  A  b  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z )  <->  ( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221cbvralv 2654 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2317, 22bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2413, 23anbi12i 455 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  a  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2524rexbii 2442 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  <->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2610, 25sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )
27 renegcl 8035 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
2827ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  -u a  e.  RR )
29 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  a  e.  RR )
30 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a  <  b )
31 elrabi 2837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  y  e.  RR )
32 negeq 7967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  -u w  =  -u y )
3332eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
3433elrab3 2841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
3534biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A ) )
3631, 35mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
37 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  -u y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  -u y ) )
3837notbid 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  -u y  ->  ( -.  a  <  b  <->  -.  a  <  -u y ) )
3938rspcv 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
4036, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
4140adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
42 ltnegcon2 8238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( y  <  -u a  <->  a  <  -u y ) )
4342notbid 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u a  <->  -.  a  <  -u y ) )
4431, 43sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u a  <->  -.  a  <  -u y
) )
4541, 44sylibrd 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  y  <  -u a
) )
4645ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  -.  a  < 
b  ->  -.  y  <  -u a ) )
4746ralrimdva 2512 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a ) )
4829, 30, 47sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a
)
49 nfv 1508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c ( ph  /\  a  e.  RR )
50 nfcv 2281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ c RR
51 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c  b  <  a
52 nfre1 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c E. c  e.  A  b  <  c
5351, 52nfim 1551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ c ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )
5450, 53nfralya 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )
5549, 54nfan 1544 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )
56 nfv 1508 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c  y  e.  RR
5755, 56nfan 1544 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )
58 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c
-u a  <  y
5957, 58nfan 1544 . . . . . . . . 9  |-  F/ c ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )
60 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  A )
61 supinfneg.ss . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6261sseld 3096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( c  e.  A  ->  c  e.  RR ) )
6362ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  (
c  e.  A  -> 
c  e.  RR ) )
6460, 63mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  RR )
6564renegcld 8154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  e.  RR )
6664recnd 7806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  CC )
6766negnegd 8076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u -u c  =  c )
6867, 60eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u -u c  e.  A )
69 negeq 7967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  -u c  ->  -u w  =  -u -u c )
7069eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u c  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u c  e.  A ) )
7170elrab 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u c  e.  RR  /\  -u -u c  e.  A ) )
7265, 68, 71sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )
73 simp-4r 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  y  e.  RR )
74 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u y  <  c )
7573, 64, 74ltnegcon1d 8299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  <  y )
76 breq1 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  -u c  ->  (
z  <  y  <->  -u c  < 
y ) )
7776rspcev 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u c  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  -u c  <  y
)  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
7872, 75, 77syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
79 simpllr 523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
80 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
81 simplr 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )
8279, 80, 81jca31 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )
83 ltnegcon1 8237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  < 
y  <->  -u y  <  a
) )
8483adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u a  <  y  <->  -u y  < 
a ) )
85 renegcl 8035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
86 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  a  <->  -u y  < 
a ) )
87 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  c  <->  -u y  < 
c ) )
8887rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  ( E. c  e.  A  b  <  c  <->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) )
8986, 88imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  -u y  ->  (
( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) ) )
9089rspcv 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  -> 
( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) ) )
9185, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  -> 
( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) ) )
9291adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  ->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) ) )
9392imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) )
9484, 93sylbid 149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u a  <  y  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) )
9594imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  -u a  <  y
)  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c )
9682, 95sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c )
9759, 78, 96r19.29af 2573 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
9897ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) )
9998ralrimiva 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
)
10099adantrl 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) )
101 breq2 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -u a ) )
102101notbid 656 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  -u a ) )
103102ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a
) )
104 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <  y  <->  -u a  < 
y ) )
105104imbi1d 230 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )  <->  (
-u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
) )
106105ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) ) )
107103, 106anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a  /\  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
108107rspcev 2789 . . . . 5  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\  ( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a  /\  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
10928, 48, 100, 108syl12anc 1214 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
110109ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
111110rexlimdva 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
11226, 111mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420    C_ wss 3071   class class class wbr 3929   RRcr 7631    < clt 7812   -ucneg 7946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817  df-sub 7947  df-neg 7948
This theorem is referenced by:  supminfex  9404  infssuzex  11653
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