Theorem supinfneg 9660

Description: If a set of real numbers has a least upper bound, the set of the negation of those numbers has a greatest lower bound. For a theorem which is similar but only for the boundedness part, see ublbneg 9678. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supinfneg.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
supinfneg.ss	|- ( ph -> A C_ RR )

Assertion

Ref	Expression
supinfneg	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z, w, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, w)

Proof of Theorem supinfneg

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supinfneg.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( a < y <-> x < y ) )
3	2	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( -. a < y <-> -. x < y ) )
4	3	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. y e. A -. a < y <-> A. y e. A -. x < y ) )
5		breq2 4033	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( y < a <-> y < x ) )
6	5	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( a = x -> ( ( y < a -> E. z e. A y < z ) <-> ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
7	6	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) <-> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
8	4, 7	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( a = x -> ( ( A. y e. A -. a < y /\ A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
9	8	cbvrexv 2727	. . . 4 |- ( E. a e. RR ( A. y e. A -. a < y /\ A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
10	1, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. y e. A -. a < y /\ A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) ) )
11		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( a < b <-> a < y ) )
12	11	notbid 668	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( -. a < b <-> -. a < y ) )
13	12	cbvralv 2726	. . . . 5 |- ( A. b e. A -. a < b <-> A. y e. A -. a < y )
14		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( b < c <-> b < z ) )
15	14	cbvrexv 2727	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. A b < c <-> E. z e. A b < z )
16	15	imbi2i 226	. . . . . . 7 |- ( ( b < a -> E. c e. A b < c ) <-> ( b < a -> E. z e. A b < z ) )
17	16	ralbii 2500	. . . . . 6 |- ( A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) <-> A. b e. RR ( b < a -> E. z e. A b < z ) )
18		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( b < a <-> y < a ) )
19		breq1 4032	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( b < z <-> y < z ) )
20	19	rexbidv 2495	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( E. z e. A b < z <-> E. z e. A y < z ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( ( b < a -> E. z e. A b < z ) <-> ( y < a -> E. z e. A y < z ) ) )
22	21	cbvralv 2726	. . . . . 6 |- ( A. b e. RR ( b < a -> E. z e. A b < z ) <-> A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) )
23	17, 22	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) <-> A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) )
24	13, 23	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) <-> ( A. y e. A -. a < y /\ A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) ) )
25	24	rexbii 2501	. . 3 |- ( E. a e. RR ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) <-> E. a e. RR ( A. y e. A -. a < y /\ A. y e. RR ( y < a -> E. z e. A y < z ) ) )
26	10, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) )
27		renegcl 8280	. . . . . 6 |- ( a e. RR -> -u a e. RR )
28	27	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) ) -> -u a e. RR )
29		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) ) -> a e. RR )
30		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) ) -> A. b e. A -. a < b )
31		elrabi 2913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> y e. RR )
32		negeq 8212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> -u w = -u y )
33	32	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( -u w e. A <-> -u y e. A ) )
34	33	elrab3 2917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> ( y e. { w e. RR | -u w e. A } <-> -u y e. A ) )
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> -u y e. A ) )
36	31, 35	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> -u y e. A )
37		breq2 4033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = -u y -> ( a < b <-> a < -u y ) )
38	37	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = -u y -> ( -. a < b <-> -. a < -u y ) )
39	38	rspcv 2860	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. A -> ( A. b e. A -. a < b -> -. a < -u y ) )
40	36, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { w e. RR | -u w e. A } -> ( A. b e. A -. a < b -> -. a < -u y ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( A. b e. A -. a < b -> -. a < -u y ) )
42		ltnegcon2 8483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( y < -u a <-> a < -u y ) )
43	42	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ a e. RR ) -> ( -. y < -u a <-> -. a < -u y ) )
44	31, 43	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( -. y < -u a <-> -. a < -u y ) )
45	41, 44	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { w e. RR | -u w e. A } /\ a e. RR ) -> ( A. b e. A -. a < b -> -. y < -u a ) )
46	45	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ y e. { w e. RR | -u w e. A } ) -> ( A. b e. A -. a < b -> -. y < -u a ) )
47	46	ralrimdva 2574	. . . . . 6 |- ( a e. RR -> ( A. b e. A -. a < b -> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < -u a ) )
48	29, 30, 47	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) ) -> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < -u a )
49		nfv 1539	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c ( ph /\ a e. RR )
50		nfcv 2336	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ c RR
51		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c b < a
52		nfre1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c E. c e. A b < c
53	51, 52	nfim 1583	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ c ( b < a -> E. c e. A b < c )
54	50, 53	nfralya 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c )
55	49, 54	nfan 1576	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) )
56		nfv 1539	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c y e. RR
57	55, 56	nfan 1576	. . . . . . . . . 10 |- F/ c ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR )
58		nfv 1539	. . . . . . . . . 10 |- F/ c -u a < y
59	57, 58	nfan 1576	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y )
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> c e. A )
61		supinfneg.ss	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
62	61	sseld 3178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c e. A -> c e. RR ) )
63	62	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> ( c e. A -> c e. RR ) )
64	60, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> c e. RR )
65	64	renegcld 8399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> -u c e. RR )
66	64	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> c e. CC )
67	66	negnegd 8321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> -u -u c = c )
68	67, 60	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> -u -u c e. A )
69		negeq 8212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u c -> -u w = -u -u c )
70	69	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u c -> ( -u w e. A <-> -u -u c e. A ) )
71	70	elrab 2916	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u c e. { w e. RR | -u w e. A } <-> ( -u c e. RR /\ -u -u c e. A ) )
72	65, 68, 71	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> -u c e. { w e. RR | -u w e. A } )
73		simp-4r 542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> y e. RR )
74		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> -u y < c )
75	73, 64, 74	ltnegcon1d 8544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> -u c < y )
76		breq1 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = -u c -> ( z < y <-> -u c < y ) )
77	76	rspcev 2864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u c e. { w e. RR | -u w e. A } /\ -u c < y ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y )
78	72, 75, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) /\ c e. A ) /\ -u y < c ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y )
79		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) -> a e. RR )
80		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
81		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) -> A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) )
82	79, 80, 81	jca31 309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) -> ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) )
83		ltnegcon1 8482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a < y <-> -u y < a ) )
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) -> ( -u a < y <-> -u y < a ) )
85		renegcl 8280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
86		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = -u y -> ( b < a <-> -u y < a ) )
87		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = -u y -> ( b < c <-> -u y < c ) )
88	87	rexbidv 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = -u y -> ( E. c e. A b < c <-> E. c e. A -u y < c ) )
89	86, 88	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = -u y -> ( ( b < a -> E. c e. A b < c ) <-> ( -u y < a -> E. c e. A -u y < c ) ) )
90	89	rspcv 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR -> ( A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) -> ( -u y < a -> E. c e. A -u y < c ) ) )
91	85, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> ( A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) -> ( -u y < a -> E. c e. A -u y < c ) ) )
92	91	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) -> ( -u y < a -> E. c e. A -u y < c ) ) )
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) -> ( -u y < a -> E. c e. A -u y < c ) )
94	84, 93	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) -> ( -u a < y -> E. c e. A -u y < c ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. RR /\ y e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ -u a < y ) -> E. c e. A -u y < c )
96	82, 95	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) -> E. c e. A -u y < c )
97	59, 78, 96	r19.29af 2635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) /\ -u a < y ) -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y )
98	97	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) /\ y e. RR ) -> ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) )
99	98	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) -> A. y e. RR ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) )
100	99	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) ) -> A. y e. RR ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) )
101		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u a -> ( y < x <-> y < -u a ) )
102	101	notbid 668	. . . . . . . 8 |- ( x = -u a -> ( -. y < x <-> -. y < -u a ) )
103	102	ralbidv 2494	. . . . . . 7 |- ( x = -u a -> ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x <-> A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < -u a ) )
104		breq1 4032	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u a -> ( x < y <-> -u a < y ) )
105	104	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = -u a -> ( ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) <-> ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) )
106	105	ralbidv 2494	. . . . . . 7 |- ( x = -u a -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) <-> A. y e. RR ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) )
107	103, 106	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = -u a -> ( ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) <-> ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < -u a /\ A. y e. RR ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) ) )
108	107	rspcev 2864	. . . . 5 |- ( ( -u a e. RR /\ ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < -u a /\ A. y e. RR ( -u a < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) )
109	28, 48, 100, 108	syl12anc 1247	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) )
110	109	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) ) )
111	110	rexlimdva 2611	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR ( A. b e. A -. a < b /\ A. b e. RR ( b < a -> E. c e. A b < c ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) ) )
112	26, 111	mpd 13	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. { w e. RR | -u w e. A } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { w e. RR | -u w e. A } z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   RRcr 7871   < clt 8054   -ucneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  supminfex  9662  infssuzex  12086