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Theorem supinfneg 9346
Description: If a set of real numbers has a least upper bound, the set of the negation of those numbers has a greatest lower bound. For a theorem which is similar but only for the boundedness part, see ublbneg 9361. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supinfneg.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
supinfneg.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
supinfneg  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z, w, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w)

Proof of Theorem supinfneg
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supinfneg.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <  y  <->  x  <  y ) )
32notbid 641 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( -.  a  <  y  <->  -.  x  <  y ) )
43ralbidv 2414 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  x  <  y ) )
5 breq2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <  a  <->  y  <  x ) )
65imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
76ralbidv 2414 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
84, 7anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( A. y  e.  A  -.  a  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
98cbvrexv 2632 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
101, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
11 breq2 3903 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  y ) )
1211notbid 641 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( -.  a  <  b  <->  -.  a  <  y ) )
1312cbvralv 2631 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  <->  A. y  e.  A  -.  a  <  y )
14 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
b  <  c  <->  b  <  z ) )
1514cbvrexv 2632 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  b  <  c  <->  E. z  e.  A  b  <  z )
1615imbi2i 225 . . . . . . 7  |-  ( ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  ( b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z ) )
1716ralbii 2418 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. z  e.  A  b  <  z ) )
18 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  a  <->  y  <  a ) )
19 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <  z  <->  y  <  z ) )
2019rexbidv 2415 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  ( E. z  e.  A  b  <  z  <->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z )  <->  ( y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221cbvralv 2631 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. z  e.  A  b  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2317, 22bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2413, 23anbi12i 455 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  a  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2524rexbii 2419 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  <->  E. a  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  a  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  a  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2610, 25sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )
27 renegcl 7991 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
2827ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  -u a  e.  RR )
29 simplr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  a  e.  RR )
30 simprl 505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a  <  b )
31 elrabi 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  y  e.  RR )
32 negeq 7923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  -u w  =  -u y )
3332eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
3433elrab3 2814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
3534biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A ) )
3631, 35mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
37 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  -u y  ->  (
a  <  b  <->  a  <  -u y ) )
3837notbid 641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  -u y  ->  ( -.  a  <  b  <->  -.  a  <  -u y ) )
3938rspcv 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
4036, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
4140adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  a  <  -u y
) )
42 ltnegcon2 8194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( y  <  -u a  <->  a  <  -u y ) )
4342notbid 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u a  <->  -.  a  <  -u y ) )
4431, 43sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u a  <->  -.  a  <  -u y
) )
4541, 44sylibrd 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  a  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  -.  y  <  -u a
) )
4645ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  -.  a  < 
b  ->  -.  y  <  -u a ) )
4746ralrimdva 2489 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a ) )
4829, 30, 47sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a
)
49 nfv 1493 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c ( ph  /\  a  e.  RR )
50 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ c RR
51 nfv 1493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c  b  <  a
52 nfre1 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c E. c  e.  A  b  <  c
5351, 52nfim 1536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ c ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )
5450, 53nfralya 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )
5549, 54nfan 1529 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )
56 nfv 1493 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c  y  e.  RR
5755, 56nfan 1529 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )
58 nfv 1493 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c
-u a  <  y
5957, 58nfan 1529 . . . . . . . . 9  |-  F/ c ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )
60 simplr 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  A )
61 supinfneg.ss . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6261sseld 3066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( c  e.  A  ->  c  e.  RR ) )
6362ad6antr 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  (
c  e.  A  -> 
c  e.  RR ) )
6460, 63mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  RR )
6564renegcld 8110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  e.  RR )
6664recnd 7762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  c  e.  CC )
6766negnegd 8032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u -u c  =  c )
6867, 60eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u -u c  e.  A )
69 negeq 7923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  -u c  ->  -u w  =  -u -u c )
7069eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u c  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u c  e.  A ) )
7170elrab 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u c  e.  RR  /\  -u -u c  e.  A ) )
7265, 68, 71sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } )
73 simp-4r 516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  y  e.  RR )
74 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u y  <  c )
7573, 64, 74ltnegcon1d 8254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  -u c  <  y )
76 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  -u c  ->  (
z  <  y  <->  -u c  < 
y ) )
7776rspcev 2763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u c  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  /\  -u c  <  y
)  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
7872, 75, 77syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y
)  /\  c  e.  A )  /\  -u y  <  c )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
79 simpllr 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
80 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
81 simplr 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )
8279, 80, 81jca31 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )
83 ltnegcon1 8193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  < 
y  <->  -u y  <  a
) )
8483adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u a  <  y  <->  -u y  < 
a ) )
85 renegcl 7991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
86 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  a  <->  -u y  < 
a ) )
87 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <  c  <->  -u y  < 
c ) )
8887rexbidv 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  -u y  ->  ( E. c  e.  A  b  <  c  <->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) )
8986, 88imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  -u y  ->  (
( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  <->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) ) )
9089rspcv 2759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  -> 
( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) ) )
9185, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  -> 
( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) ) )
9291adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c )  ->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c ) ) )
9392imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u y  <  a  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) )
9484, 93sylbid 149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  ( -u a  <  y  ->  E. c  e.  A  -u y  <  c ) )
9594imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  -u a  <  y
)  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c )
9682, 95sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )  ->  E. c  e.  A  -u y  < 
c )
9759, 78, 96r19.29af 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  /\  -u a  <  y )  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
)
9897ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  ( b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) )
9998ralrimiva 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
)
10099adantrl 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) )
101 breq2 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -u a ) )
102101notbid 641 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  -u a ) )
103102ralbidv 2414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a
) )
104 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <  y  <->  -u a  < 
y ) )
105104imbi1d 230 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )  <->  (
-u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
) )
106105ralbidv 2414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  <  y
) ) )
107103, 106anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a  /\  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
108107rspcev 2763 . . . . 5  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\  ( A. y  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  -u a  /\  A. y  e.  RR  ( -u a  <  y  ->  E. z  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
z  <  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
10928, 48, 100, 108syl12anc 1199 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
110109ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <  a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
111110rexlimdva 2526 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR  ( b  < 
a  ->  E. c  e.  A  b  <  c ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) ) )
11226, 111mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } z  < 
y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   RRcr 7587    < clt 7768   -ucneg 7902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-sub 7903  df-neg 7904
This theorem is referenced by:  supminfex  9348  infssuzex  11554
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