Theorem ltneg 8143

Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltneg	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -u B < -u A ) )

Proof of Theorem ltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7690	. . 3 |- 0 e. RR
2		ltsub2 8140	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A < B <-> ( 0 - B ) < ( 0 - A ) ) )
3	1, 2	mp3an3 1287	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( 0 - B ) < ( 0 - A ) ) )
4		df-neg 7859	. . 3 |- -u B = ( 0 - B )
5		df-neg 7859	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
6	4, 5	breq12i 3904	. 2 |- ( -u B < -u A <-> ( 0 - B ) < ( 0 - A ) )
7	3, 6	syl6bbr 197	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -u B < -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   < clt 7724   - cmin 7856   -ucneg 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729  df-sub 7858  df-neg 7859

This theorem is referenced by:  ltnegcon1  8144  ltnegcon2  8145  lt0neg1  8149  lt0neg2  8150  eqord2  8165  ltnegi  8174  ltnegd  8203  reapneg  8277  negiso  8623  xltnegi  9511  iooneg  9664