Theorem renegcl 8304

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8005	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8029	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8217	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2204	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8029	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8035	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8246	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1335	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2268	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2614	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   + caddc 7899   - cmin 8214   -ucneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  renegcli  8305  resubcl  8307  negreb  8308  renegcld  8423  negf1o  8425  ltnegcon1  8507  ltnegcon2  8508  lenegcon1  8510  lenegcon2  8511  mullt0  8524  recexre  8622  elnnz  9353  btwnz  9462  supinfneg  9686  infsupneg  9687  supminfex  9688  ublbneg  9704  negm  9706  rpnegap  9778  negelrp  9779  xnegcl  9924  xnegneg  9925  xltnegi  9927  rexsub  9945  xnegid  9951  xnegdi  9960  xpncan  9963  xnpcan  9964  xposdif  9974  iooneg  10080  iccneg  10081  icoshftf1o  10083  infssuzex  10340  crim  11040  absnid  11255  absdiflt  11274  absdifle  11275  dfabsmax  11399  max0addsup  11401  negfi  11410  minmax  11412  mincl  11413  min1inf  11414  min2inf  11415  minabs  11418  minclpr  11419  mingeb  11424  xrminrecl  11455  xrminrpcl  11456