Theorem renegcl 8119

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 7824	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 7848	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8032	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2165	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 7848	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 7853	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8061	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1306	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2229	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 169	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2574	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436  (class class class)co 5818   CCcc 7713   RRcr 7714   0cc0 7715   + caddc 7718   - cmin 8029   -ucneg 8030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-setind 4494  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-sub 8031  df-neg 8032

This theorem is referenced by:  renegcli  8120  resubcl  8122  negreb  8123  renegcld  8238  negf1o  8240  ltnegcon1  8321  ltnegcon2  8322  lenegcon1  8324  lenegcon2  8325  mullt0  8338  recexre  8436  elnnz  9160  btwnz  9266  supinfneg  9489  infsupneg  9490  supminfex  9491  ublbneg  9504  negm  9506  rpnegap  9575  negelrp  9576  xnegcl  9718  xnegneg  9719  xltnegi  9721  rexsub  9739  xnegid  9745  xnegdi  9754  xpncan  9757  xnpcan  9758  xposdif  9768  iooneg  9874  iccneg  9875  icoshftf1o  9877  crim  10740  absnid  10955  absdiflt  10974  absdifle  10975  dfabsmax  11099  max0addsup  11101  negfi  11109  minmax  11111  mincl  11112  min1inf  11113  min2inf  11114  minabs  11117  minclpr  11118  xrminrecl  11152  xrminrpcl  11153  infssuzex  11817