Theorem renegcl 8594

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8294	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8318	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8507	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2246	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8318	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8324	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8536	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1365	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2310	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2668	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   - cmin 8504   -ucneg 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  renegcli  8595  resubcl  8597  negreb  8598  renegcld  8714  negf1o  8716  ltnegcon1  8798  ltnegcon2  8799  lenegcon1  8801  lenegcon2  8802  mullt0  8815  recexre  8914  elnnz  9665  btwnz  9776  supinfneg  10011  infsupneg  10012  supminfex  10013  ublbneg  10029  negm  10031  rpnegap  10104  negelrp  10105  xnegcl  10251  xnegneg  10252  xltnegi  10254  rexsub  10272  xnegid  10278  xnegdi  10287  xpncan  10290  xnpcan  10291  xposdif  10301  iooneg  10407  iccneg  10408  icoshftf1o  10410  infssuzex  10683  crim  11645  absnid  11861  absdiflt  11881  absdifle  11882  dfabsmax  12006  max0addsup  12008  negfi  12017  minmax  12020  mincl  12021  min1inf  12022  min2inf  12023  minabs  12026  minclpr  12027  mingeb  12033  xrminrecl  12064  xrminrpcl  12065