Theorem renegcl 8333

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8034	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8058	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8246	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2213	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8058	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8064	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8275	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1337	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2277	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2623	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   + caddc 7928   - cmin 8243   -ucneg 8244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246

This theorem is referenced by:  renegcli  8334  resubcl  8336  negreb  8337  renegcld  8452  negf1o  8454  ltnegcon1  8536  ltnegcon2  8537  lenegcon1  8539  lenegcon2  8540  mullt0  8553  recexre  8651  elnnz  9382  btwnz  9492  supinfneg  9716  infsupneg  9717  supminfex  9718  ublbneg  9734  negm  9736  rpnegap  9808  negelrp  9809  xnegcl  9954  xnegneg  9955  xltnegi  9957  rexsub  9975  xnegid  9981  xnegdi  9990  xpncan  9993  xnpcan  9994  xposdif  10004  iooneg  10110  iccneg  10111  icoshftf1o  10113  infssuzex  10376  crim  11169  absnid  11384  absdiflt  11403  absdifle  11404  dfabsmax  11528  max0addsup  11530  negfi  11539  minmax  11541  mincl  11542  min1inf  11543  min2inf  11544  minabs  11547  minclpr  11548  mingeb  11553  xrminrecl  11584  xrminrpcl  11585