Theorem renegcl 8287

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 7988	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8012	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8200	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2204	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8012	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8018	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8229	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1335	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2268	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2614	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   - cmin 8197   -ucneg 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200

This theorem is referenced by:  renegcli  8288  resubcl  8290  negreb  8291  renegcld  8406  negf1o  8408  ltnegcon1  8490  ltnegcon2  8491  lenegcon1  8493  lenegcon2  8494  mullt0  8507  recexre  8605  elnnz  9336  btwnz  9445  supinfneg  9669  infsupneg  9670  supminfex  9671  ublbneg  9687  negm  9689  rpnegap  9761  negelrp  9762  xnegcl  9907  xnegneg  9908  xltnegi  9910  rexsub  9928  xnegid  9934  xnegdi  9943  xpncan  9946  xnpcan  9947  xposdif  9957  iooneg  10063  iccneg  10064  icoshftf1o  10066  infssuzex  10323  crim  11023  absnid  11238  absdiflt  11257  absdifle  11258  dfabsmax  11382  max0addsup  11384  negfi  11393  minmax  11395  mincl  11396  min1inf  11397  min2inf  11398  minabs  11401  minclpr  11402  mingeb  11407  xrminrecl  11438  xrminrpcl  11439