Theorem renegcl 8368

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8069	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8093	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8281	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2215	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8093	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8099	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8310	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1337	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2279	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2625	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   + caddc 7963   - cmin 8278   -ucneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by:  renegcli  8369  resubcl  8371  negreb  8372  renegcld  8487  negf1o  8489  ltnegcon1  8571  ltnegcon2  8572  lenegcon1  8574  lenegcon2  8575  mullt0  8588  recexre  8686  elnnz  9417  btwnz  9527  supinfneg  9751  infsupneg  9752  supminfex  9753  ublbneg  9769  negm  9771  rpnegap  9843  negelrp  9844  xnegcl  9989  xnegneg  9990  xltnegi  9992  rexsub  10010  xnegid  10016  xnegdi  10025  xpncan  10028  xnpcan  10029  xposdif  10039  iooneg  10145  iccneg  10146  icoshftf1o  10148  infssuzex  10413  crim  11284  absnid  11499  absdiflt  11518  absdifle  11519  dfabsmax  11643  max0addsup  11645  negfi  11654  minmax  11656  mincl  11657  min1inf  11658  min2inf  11659  minabs  11662  minclpr  11663  mingeb  11668  xrminrecl  11699  xrminrpcl  11700