Theorem renegcl 8016

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 7722	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 7746	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 7929	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2145	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 7746	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 7751	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 7958	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1302	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2209	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 169	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2547	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   + caddc 7616   - cmin 7926   -ucneg 7927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  renegcli  8017  resubcl  8019  negreb  8020  renegcld  8135  negf1o  8137  ltnegcon1  8218  ltnegcon2  8219  lenegcon1  8221  lenegcon2  8222  mullt0  8235  recexre  8333  elnnz  9057  btwnz  9163  supinfneg  9383  infsupneg  9384  supminfex  9385  ublbneg  9398  negm  9400  rpnegap  9467  negelrp  9468  xnegcl  9608  xnegneg  9609  xltnegi  9611  rexsub  9629  xnegid  9635  xnegdi  9644  xpncan  9647  xnpcan  9648  xposdif  9658  iooneg  9764  iccneg  9765  icoshftf1o  9767  crim  10623  absnid  10838  absdiflt  10857  absdifle  10858  dfabsmax  10982  max0addsup  10984  negfi  10992  minmax  10994  mincl  10995  min1inf  10996  min2inf  10997  minabs  11000  minclpr  11001  xrminrecl  11035  xrminrpcl  11036  infssuzex  11631