Theorem renegcl 8047

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 7753	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 7777	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 7960	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2148	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 7777	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 7782	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 7989	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1303	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2212	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 169	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2552	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   - cmin 7957   -ucneg 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960

This theorem is referenced by:  renegcli  8048  resubcl  8050  negreb  8051  renegcld  8166  negf1o  8168  ltnegcon1  8249  ltnegcon2  8250  lenegcon1  8252  lenegcon2  8253  mullt0  8266  recexre  8364  elnnz  9088  btwnz  9194  supinfneg  9417  infsupneg  9418  supminfex  9419  ublbneg  9432  negm  9434  rpnegap  9503  negelrp  9504  xnegcl  9645  xnegneg  9646  xltnegi  9648  rexsub  9666  xnegid  9672  xnegdi  9681  xpncan  9684  xnpcan  9685  xposdif  9695  iooneg  9801  iccneg  9802  icoshftf1o  9804  crim  10662  absnid  10877  absdiflt  10896  absdifle  10897  dfabsmax  11021  max0addsup  11023  negfi  11031  minmax  11033  mincl  11034  min1inf  11035  min2inf  11036  minabs  11039  minclpr  11040  xrminrecl  11074  xrminrpcl  11075  infssuzex  11678