Theorem renegcl 8221

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 7923	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 7947	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8134	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2185	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 7947	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 7952	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8163	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1324	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2249	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2594	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   0cc0 7814   + caddc 7817   - cmin 8131   -ucneg 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-neg 8134

This theorem is referenced by:  renegcli  8222  resubcl  8224  negreb  8225  renegcld  8340  negf1o  8342  ltnegcon1  8423  ltnegcon2  8424  lenegcon1  8426  lenegcon2  8427  mullt0  8440  recexre  8538  elnnz  9266  btwnz  9375  supinfneg  9598  infsupneg  9599  supminfex  9600  ublbneg  9616  negm  9618  rpnegap  9689  negelrp  9690  xnegcl  9835  xnegneg  9836  xltnegi  9838  rexsub  9856  xnegid  9862  xnegdi  9871  xpncan  9874  xnpcan  9875  xposdif  9885  iooneg  9991  iccneg  9992  icoshftf1o  9994  crim  10870  absnid  11085  absdiflt  11104  absdifle  11105  dfabsmax  11229  max0addsup  11231  negfi  11239  minmax  11241  mincl  11242  min1inf  11243  min2inf  11244  minabs  11247  minclpr  11248  mingeb  11253  xrminrecl  11284  xrminrpcl  11285  infssuzex  11953