Theorem renegcl 8499

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8201	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8225	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8412	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2239	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8225	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8231	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8441	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1361	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2303	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2651	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   + caddc 8095   - cmin 8409   -ucneg 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412

This theorem is referenced by:  renegcli  8500  resubcl  8502  negreb  8503  renegcld  8618  negf1o  8620  ltnegcon1  8702  ltnegcon2  8703  lenegcon1  8705  lenegcon2  8706  mullt0  8719  recexre  8817  elnnz  9550  btwnz  9660  supinfneg  9890  infsupneg  9891  supminfex  9892  ublbneg  9908  negm  9910  rpnegap  9982  negelrp  9983  xnegcl  10128  xnegneg  10129  xltnegi  10131  rexsub  10149  xnegid  10155  xnegdi  10164  xpncan  10167  xnpcan  10168  xposdif  10178  iooneg  10284  iccneg  10285  icoshftf1o  10287  infssuzex  10556  crim  11498  absnid  11713  absdiflt  11732  absdifle  11733  dfabsmax  11857  max0addsup  11859  negfi  11868  minmax  11870  mincl  11871  min1inf  11872  min2inf  11873  minabs  11876  minclpr  11877  mingeb  11882  xrminrecl  11913  xrminrpcl  11914