Theorem renegcl 8587

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- ( A e. RR -> -u A e. RR )

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8288	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. RR ( A + x ) = 0 )
2		recn 8312	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
3		df-neg 8500	. . . . . . 7 |- -u A = ( 0 - A )
4	3	eqeq1i 2246	. . . . . 6 |- ( -u A = x <-> ( 0 - A ) = x )
5		recn 8312	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6		0cn 8318	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
7		subadd 8529	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
8	6, 7	mp3an1 1365	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( ( 0 - A ) = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. CC ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x <-> ( A + x ) = 0 ) )
12		eleq1a 2310	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( -u A = x -> -u A e. RR ) )
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
15	14	rexlimdva 2668	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. x e. RR ( A + x ) = 0 -> -u A e. RR ) )
16	1, 15	mpd 13	1 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   - cmin 8497   -ucneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  renegcli  8588  resubcl  8590  negreb  8591  renegcld  8707  negf1o  8709  ltnegcon1  8791  ltnegcon2  8792  lenegcon1  8794  lenegcon2  8795  mullt0  8808  recexre  8906  elnnz  9654  btwnz  9765  supinfneg  9995  infsupneg  9996  supminfex  9997  ublbneg  10013  negm  10015  rpnegap  10087  negelrp  10088  xnegcl  10234  xnegneg  10235  xltnegi  10237  rexsub  10255  xnegid  10261  xnegdi  10270  xpncan  10273  xnpcan  10274  xposdif  10284  iooneg  10390  iccneg  10391  icoshftf1o  10393  infssuzex  10666  crim  11623  absnid  11839  absdiflt  11858  absdifle  11859  dfabsmax  11983  max0addsup  11985  negfi  11994  minmax  11996  mincl  11997  min1inf  11998  min2inf  11999  minabs  12002  minclpr  12003  mingeb  12008  xrminrecl  12039  xrminrpcl  12040