Theorem btwnz 9445

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	|- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8287	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		arch 9246	. . . 4 |- ( -u A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
4		nnre 8997	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> z e. RR )
5		ltnegcon1 8490	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u A < z <-> -u z < A ) )
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( z e. RR -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
7	4, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
8	7	pm5.32d 450	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) <-> ( z e. NN /\ -u z < A ) ) )
9		nnnegz 9329	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> -u z e. ZZ )
10		breq1 4036	. . . . . . . 8 |- ( x = -u z -> ( x < A <-> -u z < A ) )
11	10	rspcev 2868	. . . . . . 7 |- ( ( -u z e. ZZ /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
12	9, 11	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( z e. NN /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
13	8, 12	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) -> E. x e. ZZ x < A ) )
14	13	expd 258	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) ) )
15	14	rexlimdv 2613	. . 3 |- ( A e. RR -> ( E. z e. NN -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) )
16	3, 15	mpd 13	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. ZZ x < A )
17		arch 9246	. . 3 |- ( A e. RR -> E. y e. NN A < y )
18		nnz 9345	. . . . 5 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
19	18	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ A < y ) -> ( y e. ZZ /\ A < y ) )
20	19	reximi2 2593	. . 3 |- ( E. y e. NN A < y -> E. y e. ZZ A < y )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> E. y e. ZZ A < y )
22	16, 21	jca 306	1 |- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061   -ucneg 8198   NNcn 8990   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327

This theorem is referenced by:  lbzbi  9690  exbtwnzlemex  10339  rebtwn2z  10344