Theorem btwnz 9310

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	|- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8159	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		arch 9111	. . . 4 |- ( -u A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
4		nnre 8864	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> z e. RR )
5		ltnegcon1 8361	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u A < z <-> -u z < A ) )
6	5	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( z e. RR -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
7	4, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
8	7	pm5.32d 446	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) <-> ( z e. NN /\ -u z < A ) ) )
9		nnnegz 9194	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> -u z e. ZZ )
10		breq1 3985	. . . . . . . 8 |- ( x = -u z -> ( x < A <-> -u z < A ) )
11	10	rspcev 2830	. . . . . . 7 |- ( ( -u z e. ZZ /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
12	9, 11	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( z e. NN /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
13	8, 12	syl6bi 162	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) -> E. x e. ZZ x < A ) )
14	13	expd 256	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) ) )
15	14	rexlimdv 2582	. . 3 |- ( A e. RR -> ( E. z e. NN -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) )
16	3, 15	mpd 13	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. ZZ x < A )
17		arch 9111	. . 3 |- ( A e. RR -> E. y e. NN A < y )
18		nnz 9210	. . . . 5 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
19	18	anim1i 338	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ A < y ) -> ( y e. ZZ /\ A < y ) )
20	19	reximi2 2562	. . 3 |- ( E. y e. NN A < y -> E. y e. ZZ A < y )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> E. y e. ZZ A < y )
22	16, 21	jca 304	1 |- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   RRcr 7752   < clt 7933   -ucneg 8070   NNcn 8857   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-z 9192

This theorem is referenced by:  lbzbi  9554  exbtwnzlemex  10185  rebtwn2z  10190