Theorem btwnz 9436

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	|- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8280	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		arch 9237	. . . 4 |- ( -u A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
4		nnre 8989	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> z e. RR )
5		ltnegcon1 8482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u A < z <-> -u z < A ) )
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( z e. RR -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
7	4, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
8	7	pm5.32d 450	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) <-> ( z e. NN /\ -u z < A ) ) )
9		nnnegz 9320	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> -u z e. ZZ )
10		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( x = -u z -> ( x < A <-> -u z < A ) )
11	10	rspcev 2864	. . . . . . 7 |- ( ( -u z e. ZZ /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
12	9, 11	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( z e. NN /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
13	8, 12	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) -> E. x e. ZZ x < A ) )
14	13	expd 258	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) ) )
15	14	rexlimdv 2610	. . 3 |- ( A e. RR -> ( E. z e. NN -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) )
16	3, 15	mpd 13	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. ZZ x < A )
17		arch 9237	. . 3 |- ( A e. RR -> E. y e. NN A < y )
18		nnz 9336	. . . . 5 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
19	18	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ A < y ) -> ( y e. ZZ /\ A < y ) )
20	19	reximi2 2590	. . 3 |- ( E. y e. NN A < y -> E. y e. ZZ A < y )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> E. y e. ZZ A < y )
22	16, 21	jca 306	1 |- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   RRcr 7871   < clt 8054   -ucneg 8191   NNcn 8982   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-z 9318

This theorem is referenced by:  lbzbi  9681  exbtwnzlemex  10318  rebtwn2z  10323