Theorem btwnz 9660

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	|- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8499	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		arch 9458	. . . 4 |- ( -u A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
4		nnre 9209	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> z e. RR )
5		ltnegcon1 8702	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u A < z <-> -u z < A ) )
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( z e. RR -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
7	4, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
8	7	pm5.32d 450	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) <-> ( z e. NN /\ -u z < A ) ) )
9		nnnegz 9543	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> -u z e. ZZ )
10		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( x = -u z -> ( x < A <-> -u z < A ) )
11	10	rspcev 2911	. . . . . . 7 |- ( ( -u z e. ZZ /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
12	9, 11	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( z e. NN /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
13	8, 12	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) -> E. x e. ZZ x < A ) )
14	13	expd 258	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) ) )
15	14	rexlimdv 2650	. . 3 |- ( A e. RR -> ( E. z e. NN -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) )
16	3, 15	mpd 13	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. ZZ x < A )
17		arch 9458	. . 3 |- ( A e. RR -> E. y e. NN A < y )
18		nnz 9559	. . . . 5 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
19	18	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ A < y ) -> ( y e. ZZ /\ A < y ) )
20	19	reximi2 2629	. . 3 |- ( E. y e. NN A < y -> E. y e. ZZ A < y )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> E. y e. ZZ A < y )
22	16, 21	jca 306	1 |- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   -ucneg 8410   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-z 9541

This theorem is referenced by:  lbzbi  9911  exbtwnzlemex  10572  rebtwn2z  10577