Theorem btwnz 9744

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	|- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8577	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		arch 9539	. . . 4 |- ( -u A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> E. z e. NN -u A < z )
4		nnre 9290	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> z e. RR )
5		ltnegcon1 8781	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u A < z <-> -u z < A ) )
6	5	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( z e. RR -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
7	4, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z <-> -u z < A ) ) )
8	7	pm5.32d 454	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) <-> ( z e. NN /\ -u z < A ) ) )
9		nnnegz 9626	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> -u z e. ZZ )
10		breq1 4128	. . . . . . . 8 |- ( x = -u z -> ( x < A <-> -u z < A ) )
11	10	rspcev 2929	. . . . . . 7 |- ( ( -u z e. ZZ /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
12	9, 11	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( z e. NN /\ -u z < A ) -> E. x e. ZZ x < A )
13	8, 12	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( z e. NN /\ -u A < z ) -> E. x e. ZZ x < A ) )
14	13	expd 258	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( z e. NN -> ( -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) ) )
15	14	rexlimdv 2667	. . 3 |- ( A e. RR -> ( E. z e. NN -u A < z -> E. x e. ZZ x < A ) )
16	3, 15	mpd 13	. 2 |- ( A e. RR -> E. x e. ZZ x < A )
17		arch 9539	. . 3 |- ( A e. RR -> E. y e. NN A < y )
18		nnz 9642	. . . . 5 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
19	18	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ A < y ) -> ( y e. ZZ /\ A < y ) )
20	19	reximi2 2646	. . 3 |- ( E. y e. NN A < y -> E. y e. ZZ A < y )
21	17, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> E. y e. ZZ A < y )
22	16, 21	jca 306	1 |- ( A e. RR -> ( E. x e. ZZ x < A /\ E. y e. ZZ A < y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   -ucneg 8488   NNcn 9283   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624

This theorem is referenced by:  lbzbi  9995  exbtwnzlemex  10662  rebtwn2z  10667