ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leabs Unicode version
Theorem leabs 10967
Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
leabs |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
Proof of Theorem leabs
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) < 0 )
2 recn 7859 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3 absge0 10953 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( abs ` A ) )
54ad2antrr 480 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
6 0red 7873 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 e. RR )
7 abscl 10944 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
82, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( abs ` A ) e. RR )
98ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
106, 9lenltd 7987 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( 0 <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < 0 ) )
115, 10mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> -. ( abs ` A ) < 0 )
121, 11pm2.21fal 1355 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> F. )
13 simpll 519 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A e. RR )
14 0red 7873 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
15 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 < A )
1614, 13, 15ltled 7988 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 <_ A )
17 absid 10964 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
1813, 16, 17syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) = A )
19 simplr 520 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) < A )
2018, 19eqbrtrrd 3988 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A < A )
2113ltnrd 7982 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> -. A < A )
2220, 21pm2.21fal 1355 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> F. )
23 0re 7872 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
24 axltwlin 7939 . . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
2523, 24mp3an3 1308 . . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
268, 25mpancom 419 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
2726imp 123 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) )
2812, 22, 27mpjaodan 788 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> F. )
2928inegd 1354 . 2 |- ( A e. RR -> -. ( abs ` A ) < A )
30 id 19 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR )
3130, 8lenltd 7987 . 2 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < A ) )
3229, 31mpbird 166 1 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1335   F. wfal 1340   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5169   CCcc 7724   RRcr 7725   0cc0 7726   < clt 7906   <_ cle 7907   abscabs 10890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-rp 9554  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892
This theorem is referenced by:  abslt  10981  absle  10982  abssubap0  10983  releabs  10989  leabsi  11021  leabsd  11054  dfabsmax  11110
  Copyright terms: Public domain W3C validator