ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leabs Unicode version
Theorem leabs 11460
Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
leabs |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
Proof of Theorem leabs
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) < 0 )
2 recn 8078 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3 absge0 11446 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( abs ` A ) )
54ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
6 0red 8093 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 e. RR )
7 abscl 11437 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
82, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( abs ` A ) e. RR )
98ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
106, 9lenltd 8210 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( 0 <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < 0 ) )
115, 10mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> -. ( abs ` A ) < 0 )
121, 11pm2.21fal 1393 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> F. )
13 simpll 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A e. RR )
14 0red 8093 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
15 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 < A )
1614, 13, 15ltled 8211 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 <_ A )
17 absid 11457 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
1813, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) = A )
19 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) < A )
2018, 19eqbrtrrd 4075 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A < A )
2113ltnrd 8204 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> -. A < A )
2220, 21pm2.21fal 1393 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> F. )
23 0re 8092 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
24 axltwlin 8160 . . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
2523, 24mp3an3 1339 . . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
268, 25mpancom 422 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
2726imp 124 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) )
2812, 22, 27mpjaodan 800 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> F. )
2928inegd 1392 . 2 |- ( A e. RR -> -. ( abs ` A ) < A )
30 id 19 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR )
3130, 8lenltd 8210 . 2 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < A ) )
3229, 31mpbird 167 1 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   F. wfal 1378   e. wcel 2177   class class class wbr 4051   ` cfv 5280   CCcc 7943   RRcr 7944   0cc0 7945   < clt 8127   <_ cle 8128   abscabs 11383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-rp 9796  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385
This theorem is referenced by:  abslt  11474  absle  11475  abssubap0  11476  releabs  11482  leabsi  11514  leabsd  11547  dfabsmax  11603
  Copyright terms: Public domain W3C validator