Theorem leabs 11085

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	|- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) < 0 )
2		recn 7946	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		absge0 11071	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( abs ` A ) )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
6		0red 7960	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 e. RR )
7		abscl 11062	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( abs ` A ) e. RR )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
10	6, 9	lenltd 8077	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( 0 <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < 0 ) )
11	5, 10	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> -. ( abs ` A ) < 0 )
12	1, 11	pm2.21fal 1373	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> F. )
13		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A e. RR )
14		0red 7960	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 < A )
16	14, 13, 15	ltled 8078	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 <_ A )
17		absid 11082	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) = A )
19		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) < A )
20	18, 19	eqbrtrrd 4029	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A < A )
21	13	ltnrd 8071	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> -. A < A )
22	20, 21	pm2.21fal 1373	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> F. )
23		0re 7959	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
24		axltwlin 8027	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
25	23, 24	mp3an3 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
26	8, 25	mpancom 422	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
27	26	imp 124	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) )
28	12, 22, 27	mpjaodan 798	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> F. )
29	28	inegd 1372	. 2 |- ( A e. RR -> -. ( abs ` A ) < A )
30		id 19	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR )
31	30, 8	lenltd 8077	. 2 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < A ) )
32	29, 31	mpbird 167	1 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   F. wfal 1358   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   < clt 7994   <_ cle 7995   abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by:  abslt  11099  absle  11100  abssubap0  11101  releabs  11107  leabsi  11139  leabsd  11172  dfabsmax  11228