ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leabs Unicode version
Theorem leabs 11076
Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
leabs |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
Proof of Theorem leabs
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) < 0 )
2 recn 7941 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3 absge0 11062 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( abs ` A ) )
54ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
6 0red 7955 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> 0 e. RR )
7 abscl 11053 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
82, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( abs ` A ) e. RR )
98ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
106, 9lenltd 8071 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> ( 0 <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < 0 ) )
115, 10mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> -. ( abs ` A ) < 0 )
121, 11pm2.21fal 1373 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ ( abs ` A ) < 0 ) -> F. )
13 simpll 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A e. RR )
14 0red 7955 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
15 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 < A )
1614, 13, 15ltled 8072 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> 0 <_ A )
17 absid 11073 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
1813, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) = A )
19 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> ( abs ` A ) < A )
2018, 19eqbrtrrd 4026 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> A < A )
2113ltnrd 8065 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> -. A < A )
2220, 21pm2.21fal 1373 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) /\ 0 < A ) -> F. )
23 0re 7954 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
24 axltwlin 8021 . . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
2523, 24mp3an3 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
268, 25mpancom 422 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) < A -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) ) )
2726imp 124 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> ( ( abs ` A ) < 0 \/ 0 < A ) )
2812, 22, 27mpjaodan 798 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( abs ` A ) < A ) -> F. )
2928inegd 1372 . 2 |- ( A e. RR -> -. ( abs ` A ) < A )
30 id 19 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR )
3130, 8lenltd 8071 . 2 |- ( A e. RR -> ( A <_ ( abs ` A ) <-> -. ( abs ` A ) < A ) )
3229, 31mpbird 167 1 |- ( A e. RR -> A <_ ( abs ` A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   F. wfal 1358   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5215   CCcc 7806   RRcr 7807   0cc0 7808   < clt 7988   <_ cle 7989   abscabs 10999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001
This theorem is referenced by:  abslt  11090  absle  11091  abssubap0  11092  releabs  11098  leabsi  11130  leabsd  11163  dfabsmax  11219
  Copyright terms: Public domain W3C validator