ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mettri2 GIF version

Theorem mettri2 14089
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 14082 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmettri2 14088 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
31, 2sylan 283 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
4 metcl 14080 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝐷𝐴) ∈ ℝ)
543adant3r3 1215 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐷𝐴) ∈ ℝ)
6 metcl 14080 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝐷𝐡) ∈ ℝ)
763adant3r2 1214 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐷𝐡) ∈ ℝ)
8 rexadd 9865 . . 3 (((𝐢𝐷𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐢𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
95, 7, 8syl2anc 411 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
103, 9breqtrd 4041 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„cr 7823   + caddc 7827   ≀ cle 8006   +𝑒 cxad 9783  βˆžMetcxmet 13653  Metcmet 13654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-rnegex 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-xadd 9786  df-xmet 13661  df-met 13662
This theorem is referenced by:  mettri  14100  mstri2  14198
  Copyright terms: Public domain W3C validator