ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mhm0 Unicode version

Theorem mhm0 12791
Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhm0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
mhm0.y  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
mhm0  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  .0.  )  =  Y )

Proof of Theorem mhm0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
3 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
5 mhm0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 mhm0.y . . . 4  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 12785 . . 3  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y ) ) )
87simprbi 275 . 2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y ) )
98simp3d 1011 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  .0.  )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   -->wf 5211   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   0gc0g 12693   Mndcmnd 12749   MndHom cmhm 12781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6647  df-inn 8916  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-mhm 12783
This theorem is referenced by:  mhmf1o  12793  mhmco  12806  mhmima  12807  mhmeql  12808  mhmmulg  12955
  Copyright terms: Public domain W3C validator