Theorem mhm0 12864

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	|- .0. = ( 0g ` S )
mhm0.y	|- Y = ( 0g ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhm0	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` .0. ) = Y )

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
3		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		mhm0.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` S )
6		mhm0.y	. . . 4 |- Y = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 12858	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
8	7	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) )
9	8	simp3d 1011	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` .0. ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822   MndHom cmhm 12854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-mhm 12856

This theorem is referenced by:  mhmf1o  12866  mhmco  12879  mhmima  12880  mhmeql  12881  mhmmulg  13029