Theorem mhm0 13550

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	|- .0. = ( 0g ` S )
mhm0.y	|- Y = ( 0g ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhm0	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` .0. ) = Y )

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		mhm0.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` S )
6		mhm0.y	. . . 4 |- Y = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 13543	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
8	7	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) )
9	8	simp3d 1037	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` .0. ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498   MndHom cmhm 13539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-mhm 13541

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13552  resmhm  13569  resmhm2  13570  resmhm2b  13571  mhmco  13572  mhmima  13573  mhmeql  13574  gsumwmhm  13580  mhmmulg  13749  gsumfzmhm  13929  rhm1  14180