Theorem mhm0 13496

Description: A monoid homomorphism preserves zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhm0.z	|- .0. = ( 0g ` S )
mhm0.y	|- Y = ( 0g ` T )

Assertion

Ref	Expression
mhm0	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` .0. ) = Y )

Proof of Theorem mhm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5		mhm0.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` S )
6		mhm0.y	. . . 4 |- Y = ( 0g ` T )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 13489	. . 3 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
8	7	simprbi 275	. 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) )
9	8	simp3d 1035	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F ` .0. ) = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   Mndcmnd 13444   MndHom cmhm 13485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-map 6795  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-mhm 13487

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13498  resmhm  13515  resmhm2  13516  resmhm2b  13517  mhmco  13518  mhmima  13519  mhmeql  13520  gsumwmhm  13526  mhmmulg  13695  gsumfzmhm  13875  rhm1  14125