Theorem mndpfo 13479

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndpf.p	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndpf.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
3	1, 2	mndplusf 13474	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	mndidcl 13471	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 5	mndrid 13477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2235	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
11		rspceov 6050	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
13	1, 8, 2	plusfvalg 13404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 ⨣ 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
14	13	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
15	14	3expa 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
16	15	rexbidva 2527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
17	16	rexbidva 2527	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧))
20	19	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧))
21		foov 6158	. 2 ⊢ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧)))
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   × cxp 4717  ⟶wf 5314  –onto→wfo 5316  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297  +_𝑓cplusf 13394  Mndcmnd 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-inn 9119  df-2 9177  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-plusf 13396  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458

This theorem is referenced by:  mndfo  13480  grpplusfo  13557