Theorem mndpfo 13735

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndpf.p	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndpf.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
3	1, 2	mndplusf 13730	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	mndidcl 13727	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 5	mndrid 13733	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
11		rspceov 6101	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
13	1, 8, 2	plusfvalg 13660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 ⨣ 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
14	13	eqeq2d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
15	14	3expa 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
16	15	rexbidva 2541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
17	16	rexbidva 2541	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧))
20	19	ralrimiva 2617	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧))
21		foov 6209	. 2 ⊢ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧)))
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   × cxp 4752  ⟶wf 5353  –onto→wfo 5355  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  0_gc0g 13553  +_𝑓cplusf 13650  Mndcmnd 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-plusf 13652  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714

This theorem is referenced by:  mndfo  13736  grpplusfo  13813