Theorem mndpfo 13019

Description: The addition operation of a monoid as a function is an onto function. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndpf.p	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndpfo	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem mndpfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndpf.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
3	1, 2	mndplusf 13014	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	mndidcl 13011	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8, 5	mndrid 13017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
11		rspceov 5960	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
13	1, 8, 2	plusfvalg 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 ⨣ 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
14	13	eqeq2d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
15	14	3expa 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
16	15	rexbidva 2491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
17	16	rexbidva 2491	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
19	12, 18	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧))
20	19	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧))
21		foov 6065	. 2 ⊢ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 ⨣ 𝑧)))
22	3, 20, 21	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   × cxp 4657  ⟶wf 5250  –onto→wfo 5252  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  +_𝑓cplusf 12936  Mndcmnd 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-plusf 12938  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998

This theorem is referenced by:  mndfo  13020  grpplusfo  13088