Theorem plusfvalg 13683

Description: The group addition operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffval.1	|- B = ( Base ` G )
plusffval.2	|- .+ = ( +g ` G )
plusffval.3	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusfvalg	|- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Proof of Theorem plusfvalg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusffval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		plusffval.2	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
3		plusffval.3	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
4	1, 2, 3	plusffvalg 13682	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
5	4	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
6		oveq12 6094	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
8		simp2 1029	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
9		simp3 1030	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10		plusgslid 13466	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 13379	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
12	2, 11	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( G e. V -> .+ e. _V )
13	12	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
14		ovexg 6119	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
15	8, 13, 9, 14	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
16	5, 7, 8, 9, 15	ovmpod 6216	1 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   +fcplusf 13673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-plusf 13675

This theorem is used by:  mndpfo  13751  lmodfopne  14663