Theorem plusfvalg 12842

Description: The group addition operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffval.1	|- B = ( Base ` G )
plusffval.2	|- .+ = ( +g ` G )
plusffval.3	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusfvalg	|- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Proof of Theorem plusfvalg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusffval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		plusffval.2	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
3		plusffval.3	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
4	1, 2, 3	plusffvalg 12841	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
5	4	3ad2ant1 1020	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
6		oveq12 5906	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
8		simp2 1000	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
9		simp3 1001	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10		plusgslid 12627	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 12542	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
12	2, 11	eqeltrid 2276	. . . 4 |- ( G e. V -> .+ e. _V )
13	12	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
14		ovexg 5931	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
15	8, 13, 9, 14	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
16	5, 7, 8, 9, 15	ovmpod 6025	1 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   e. cmpo 5899   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   +fcplusf 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-plusf 12834

This theorem is referenced by:  mndpfo  12914  lmodfopne  13659