Theorem plusfvalg 13195

Description: The group addition operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffval.1	|- B = ( Base ` G )
plusffval.2	|- .+ = ( +g ` G )
plusffval.3	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusfvalg	|- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Proof of Theorem plusfvalg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusffval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		plusffval.2	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
3		plusffval.3	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
4	1, 2, 3	plusffvalg 13194	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
5	4	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
6		oveq12 5953	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
8		simp2 1001	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
9		simp3 1002	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10		plusgslid 12944	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 12859	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
12	2, 11	eqeltrid 2292	. . . 4 |- ( G e. V -> .+ e. _V )
13	12	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
14		ovexg 5978	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
15	8, 13, 9, 14	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
16	5, 7, 8, 9, 15	ovmpod 6073	1 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   +fcplusf 13185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-plusf 13187

This theorem is referenced by:  mndpfo  13270  lmodfopne  14088