Theorem plusfvalg 12594

Description: The group addition operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffval.1	|- B = ( Base ` G )
plusffval.2	|- .+ = ( +g ` G )
plusffval.3	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusfvalg	|- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Proof of Theorem plusfvalg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusffval.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		plusffval.2	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
3		plusffval.3	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
4	1, 2, 3	plusffvalg 12593	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
5	4	3ad2ant1 1008	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ y ) ) )
6		oveq12 5851	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
7	6	adantl 275	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( x .+ y ) = ( X .+ Y ) )
8		simp2 988	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
9		simp3 989	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
10		plusgslid 12490	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
11	10	slotex 12421	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
12	2, 11	eqeltrid 2253	. . . 4 |- ( G e. V -> .+ e. _V )
13	12	3ad2ant1 1008	. . 3 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> .+ e. _V )
14		ovexg 5876	. . 3 |- ( ( X e. B /\ .+ e. _V /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
15	8, 13, 9, 14	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. _V )
16	5, 7, 8, 9, 15	ovmpod 5969	1 |- ( ( G e. V /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+^ Y ) = ( X .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   Basecbs 12394   +g cplusg 12457   +fcplusf 12584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-inn 8858  df-2 8916  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-plusg 12470  df-plusf 12586

This theorem is referenced by: (None)